D C BAα 第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD等。
3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。
推论2：两条平行直线确定一个平面。
推论3：两条相交直线确定一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：A· αC ·B · A ·α P· α Lβc a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ααα////b b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4异面直线：①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，]；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表a αa ∩α=Aa ∥α】2.2.1直线与平面平行的判定1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：线线平行线面平行共面直2π2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a I线面平行 面面平行2、判断定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另个平面内的两条相交直线互相平行，那么这两个平面平行。
符号表示：βαβα////,//,,.,⇒⎪⎭⎪⎬⎫==⊂⊂d b c a B d c A b a d c b a I I3、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3直线与平面平行的性质1、线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβαI作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2.2.4平面与平面平行的性质2、性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行1、定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
符号表示：αα⊂∀⊥⇔⊥m m l l ,2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
一相交，两垂直αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⊥⊥a c b P c a c a b a ,,I βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥a a βα--AB ααβαβ//,a a a ⇒⎭⎬⎫⊄⊥⊥符号表示：注意点：定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2、二面角的记法：二面角或3、面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：2.3.3直线与平面垂直的性质1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：b a b a //,⇒⊥⊥αα2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：βαβα⊥⇒⊂⊥a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：ββααβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊂⊥a l l a a I ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，成的角。
我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ 二、直线与平面所成的角1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
三、两个半平面所成的角即二面角：1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
2、二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θA βαl棱B两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
第二章点、直线、平面之间的位置关系1、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .2.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值3．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为θ，猜想θ为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)4、如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21．(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．(提示：延长BA ，CD 相交于点E ，则直线SE 是所求二面角的棱.)5．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA 1上取一点P ，过P 作棱柱的截面，使AA 1垂直于这个截面.)第二章点、直线平面之间的位置关系参考答案三、解答题(第3题)(第4(第5_ C _1_ B_1_ A_1_ A_ B_ C(第3题)17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ．解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝?，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ，∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin?＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当?＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， 即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．。