2、2018西城初三二模数学试题及答案北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是A ．线段PA 的长度B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是1 <1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。

考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、量距离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF .观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CF AB CB= C ．CE CF CA FB = D ．CE CF EA CB=7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下： 选手1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(min ) 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175由此所得的以下推断不正确．．．的是 A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y(m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；③图1中线段EF应表示为5005x ；④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.如果2x 有意义，那么x的取值范围是．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．11. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价.设A 款魔方的单价为x 元，B 款魔方的单价为y 元，依题意可列方程组为 .13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．A 款B 款16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：06cos6027(π2)32︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．(3,0)A -(4,0)B D 'C '20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．（1）求证：四边形CDBE 为矩形；（2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度2013 2014 2015 2016 2017参观人数（人次）74500007630000729000075500008060000年增长率（%）38.7 2.4 -4.5 3.6 6.8他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数m=yx（0x<）的图象经过点(4,)-，AB⊥x轴于点B，A n点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2=时，求CF CE点F的坐标．24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan EFC的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：①；②；③；④；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y axax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________；（2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.3x 30x >2-1-27. 如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），图 1备用图将它的纵坐标y 与横坐标x 的比y x 称为点Q的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221QL ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”QL 等于_________； ②如图，(3,1)C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 .（2）点D 在直线3+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q 3D 的横坐标Dx 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M上任意一点，当0≤L Q ≤22画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCCDBCA二、 填空题（本题共16分，每小题2分）9. x ≤2． 10. ． 11. . 12. 13. 20.14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+.384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-15. 54． 16.．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解：16331(23)2=⨯-- ……………………………………………………… 4分 333123=--+223=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得． ……………………………………………………… 2分(7,4)06cos6027(π2)32︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-移项，得 ． 合并同类项，得．………………………………………………………… 3分系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分 19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD=BD ， (1)分∴ ． ∵ ， ∴．………………………………………………361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒2分∵ ，∴． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴BD=BC ．…………………………………………………………………………4分∴ ． ∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分 20.解：………………………………………………………………… 3分．……………………………………90ABC ∠=︒2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-图1………………………………………… 4分当时，原式．……………………………………………………………5分 21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒． ∴CD∥BE ．………………………………… 1分又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分又∵90DBE ∠=︒， ∴ 四边形CDBE 为矩形． ………………………………………………3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，5x =-18=-图2∴DE=BC ．………………………………………………………………… 4分∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ，可得 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分 22.解：（1）补全统计图如图3.90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称，∴ 点C 的坐标为． ∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，．∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ． 解得． ……………………………………………(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-48n -=2n =-……………… 2分∵ 函数（）的图象经过点，∴．…………………………………………………………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为．① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x轴于点D 可得CD ∥．∴ △CD∽△O ．∴ ． ∵ ，∴ ． m y x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b=+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E CDC OF E F=112CF CE =113DC OF =图4∴ ．∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为 点，．同理可得CD∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，．∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b=+2E 2F 2OF 2222E CDC OF E F=222CF CE =2E 2CF 222E C EF =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -图5∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC=60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒．∴ ． ∴ ． ∴ FG ⊥OC ． ∴ FG与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形．∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形． ∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，3sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=．∴52FH CH CF a=+=．∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF=90︒，∴332tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②1(21)a ．………………… 2分③2121)a ．…………………3分④11(21)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7. (6)分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分 （2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的2x =2x =图7交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分∵ 点A 在抛物线M 上， ∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.解得. ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. …………………… 6分(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-图27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示． (1)分∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，Q为线段CD上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点1802BQE QBE ∠=︒-∠3CE AC CQ+=图E在BC上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF =CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC 中，CD为中线，点Q 在CD 上， ∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°， 即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴3cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=． ∴CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ==． 即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ=．3CE AC CQ+=图（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分②0≤QL ≤．……………………………………………………………… 2分（2）设直线3+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得(33,0)A ，(0,3)B ．∴ 33OA =3OB =，30OAB ∠=︒．3AC CE CQ-=3-3图11由0≤QL ≤，作直线3y x=．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴ 13AE =1123OE OA AE =-=． ∴ 123D x=②如图14，当⊙D 与直线3y x=相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D Ex⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．3图13设直线3y x =与直线3+3y x =的 交点为F ． 可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ． 则39cos 332AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =． ∴ 2272AD AF D F =-=． ∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠73732== 2253OE OA AE =-=．∴ 253D x =． 由①②可得，D x 53≤D x ≤23． 图14………………………………………… 5分（3）画图见图15．2．……………………………………………7分图15。