中考数学23题综合练习1 / 1223题综合练习1．如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为优弧ABO 上的一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为x yCB A O A. 43 B. 53 C. 34 D. 54 2．如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦CD ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，则弦CD 的长是A ．3B ．33C ．6D ． 633．已知双曲线3y x =和k y x=的部分图象如图所示，点C 是y 轴正半轴上一点，过点C 作AB ∥x 轴分别交两个图象于点A 、B ．若CB=2CA ，则k= ．4．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 、CD 为⊙O 直径，DE ⊥AB 于点E ，sinA=12，则∠D 的度数是 ．5．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点M ，过B 点作BE CD ∥，交AC 的延长线于点E ，连接BC 。

（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果16tan 2CD BCD =∠=，，求⊙O 的直径。

6．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD ．（1）求证：△ABC ≌△CDA ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．7．如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上的一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为点D ．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）若CD=1，O 的半径长．8．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，连接OE ．求证：OE=BC ．9．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．（1）求证：BE 与⊙O 相切；中考数学23题综合练习3 / 12（2）设OE 交⊙O 于点F ，若DF=1，BC 、线段CE 和BE 所围成的图形面积S ．10．已知，如图，在荀ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE ＝CF ，连接EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，连接DM ，BN.（1）求证：△AEM ≌△CFN ；（2）求证：四边形BMDN 是平行四边形.11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，以AB 为直径的⊙O 经过点C.过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P.点D 为圆上一点，且BC CD ，弦AD 的延长线交切线PC 于点E ，连接BC ．（1）判断OB 和BP 的数量关系,并说明理由；（2）若⊙O 的半径为2，求AE 的长．13．如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=13，延长OE到点F，使EF=2OE．（1）求⊙O的半径；（2）求证：BF是⊙O的切线．中考数学23题综合练习1 / 12 参考答案1．D【解析】试题分析：连接AB ，根据圆周角定理可得∠ABO=∠C ，先根据勾股定理求得AB 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求得结果.连接AB∵点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4） ∴522=+=BO AO AB∵∠ABO=∠C ∴cosC=cos ∠ABO==BO AB 54 故选D.考点：圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义点评：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.2．D【解析】试题分析：连接OC ，由直径AB ＝12，M 是半径OB 的中点，根据勾股定理与垂径定理求解即可.连接OC ，∵直径AB ＝12，M 是半径OB 的中点∴OC ＝6，OM ＝3∵弦CD ⊥AB ∴3322=-=OMOC CM ∴362==CM CD故选D.考点：勾股定理，垂径定理点评：勾股定理与垂径定理的结合使用是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.3．﹣6答案第2页，总8页【解析】试题分析：如图，连接OA 、OB ，∵AB ∥x 轴，即OC ⊥AB ， CB=2CA ，∴S △OBC =2S △OAC 。

∵点A 在3y x =图象上，∴点A 的坐标 为（3x x，） ∴S △OAC =133x 2x 2⋅⋅= 。

∴S △OBC =2S △OAC =3。

∵12|k|=3，而k ＜0，∴k=﹣6。

4．30°。

【解析】∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。

又∵sinA=12，∴∠CAB=30°。

∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）。

又∵点O 是AB 的中点，∴OC=OB 。

∴△OCB 是等边三角形。

∴∠COB=60°。

∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）。

又∵DE ⊥AB ，∴∠D=90°﹣60°=30°。

5．（1）由BE CD ∥，AB CD ⊥结合AB 为⊙O 的直径即可证得结论；（2）215 【解析】试题分析：（1）由BE CD ∥，AB CD ⊥结合AB 为⊙O 的直径即可证得结论；（2）先根据垂径定理求得CM 的长，再根据圆周角定理及锐角三角函数的定义可求的BM 的长，即可求得CM 的长，从而可以求得结果.（1）BE CD ∥，AB CD ⊥，AB BE ∴⊥．又AB 为直径，BE ∴为⊙O 的切线；（2）AB 为直径，AB CD ⊥，116322CM CD ∴==⨯=． ∵弧BC=弧CDBAC BCD ∴∠=∠．1tan 2BCD ∠=， 12BM CM ∴=． 1322BM CM ∴==．中考数学23题综合练习 3 / 121tan tan 2CM BAC BCD AM ∴=∠=∠= 6AM ∴=∴⊙O 的直径315622AB AM BM =+=+=． 考点：切线的判定，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义点评：此类问题知识点较多，是小综合题，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握.6．证明：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB 。

∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB ，AD 平分∠FAC ，∴∠FAC=2∠CAD 。

∴∠CAD=∠ACB 。

∵在△ABC 和△CDA 中，∠BAC=∠ACD ，AC=CA ，∠ACB =∠CAD ，∴△ABC ≌△CDA （ASA ）。

（2）∵∠FAC=2∠ACB ，∠FAC=2∠DAC ，∴∠DAC=∠ACB 。

∴AD ∥BC 。

∵∠BAC=∠ACD ，∴AB ∥CD 。

∴四边形ABCD 是平行四边形。

∵∠B=60°，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形。

∴AB=BC 。

∴平行四边形ABCD 是菱形。

【解析】试题分析：（1）求出∠B=∠ACB ，根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC ，推出∠DAC=∠ACB ，根据ASA 证明△ABC 和△CDA 全等。

（2）推出AD ∥BC ，AB ∥CD ，得出平行四边形ABCD ，根据∠B=60°，AB=AC ，得出等边△ABC ，推出AB=BC 即可。

7．解：（1）证明：如图，连接OC ，∵OA=OC ，∴∠ACO=∠CAO 。

∵CD 切⊙O 于C ，∴OC ⊥CD 。

又∵AD ⊥CD ，∴AD ∥CO 。

∴∠DAC=∠ACO 。

∴∠DAC=∠CAO ，即AC 平分∠BAD 。

（2）如图，过点O 作OE ⊥AC 于E ．答案第4页，总8页在Rt △ADC中，AD 3==， ∵OE ⊥AC ，∴AE=12。

∵∠CAO=∠DAC ，∠AEO=∠ADC=90°，∴△AEO ∽△ADC 。

∴AE AO AD AC=，即23=， ∴AO=53，即⊙O 的半径为53。

【解析】试题分析：（1）连接OC ，由OA=OC 得∠ACO=∠CAO ，由切线的性质得出OC ⊥CD ，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD ∥CO ，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO ，等量代换后可得∠DAC=∠CAO ，即AC 平分∠BAD 。

（2）过点O 作OE ⊥AC 于E ．先在Rt △ADC 中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO ∽△ADC ，由相似三角形对应边成比例得到AE AO AD AC=，求出AO=53，即⊙O 的半径为53。

8．见解析【解析】试题分析：先求出四边形OCED 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，从而得到OCED 是矩形，由勾股定理即可求出BC=OE 。

证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形。

∵四边形ABCD 是菱形，∴∠COD=90°。

∴四边形OCED 是矩形。

∴DE=OC 。

∵OB=OD ，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC OE ==∴BC=OE 。

9．（1）见解析 （2）43π-【解析】试题分析：（1）连接OC ，易证得△COE ≌△BOE （SAS ），即可得∠OCE=∠OBE=90°，证得BE中考数学23题综合练习5 / 12 与⊙O 相切。

（2）设OC=x ，则OD=OF ﹣DF=x ﹣1，易求得OC 的长，即可得∠BOC=120°，由S=S 四边形OBFC﹣S 扇形OBC 求得答案。

解：（1）证明：连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线，OB=OC ，OD ⊥BC ，∴∠EOC=∠EOB 。

∵在△EOC 和△EOB 中，OB=OC ，∠EOC=∠EOB ，OE=OE ，∴△COE ≌△BOE （SAS ），∴∠OCE=∠OBE=90°。

∴OB ⊥BE 。

∴BE 与⊙O 相切。

（2）∵OD ⊥BC ，∴CD=12BC=13设OC=x ，则OD=OF ﹣DF=x ﹣1，在Rt △OCD 中，OC 2=OD 2+CD 2，∴x 2=（x ﹣1）2+）2，解得：x=2。

∴OC=2，∠COD=60°，∴∠BOC=120°。

∴S=S 四边形OBFC ﹣S 扇形OBC =2S △OCE ﹣S 扇形OBC=21120242223603ππ⨯⨯⨯⨯⨯=。

10．证明见解析【解析】证明：(1） ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC 。