2006年高考数学福建卷文科一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直,则a 等于(A)2 (B)1 (C)0 (D)1-(2)在等差数列{}n a 中,已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于(A)40 (B)42 (C)43 (D)45(3)"tan 1"α=是""4πα=的(A)充分而不必要条件 (B)必要不而充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于(A)17 (B)7 (C)17- (D)7-(5)已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于(A)[1,4)- (B)(2,3) (C)(2,3] (D)(1,4)-(6)函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 (A)(1)1x y x x =≠+方 (B)(1)1x y x x =≠- (C)1(0)x y x x -=≠ (D)1(0)xy x x-=≠ (7)已知正方体外接球的体积是323π,那么正方体的棱长等于(A) (B)3 (C)3 (D)3(8)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有(A)108种 (B)186种 (C)216种 (D)270种 (9)已知向量a 与b 的夹角为120o,3,13,a a b =+=则b 等于 (A)5 (B)4 (C)3 (D)1(10)对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 (A)若,,m m n α⊥⊥则n α∥ (B)若m αα∥,n ∥,则m ∥n(C)若,m n αα⊂∥,则m ∥n (D)若m 、n 与α所成的角相等,则m ∥n(11)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(A)(1,2] (B)(1,2) (C)[2,)+∞ (D)(2,)+∞(12)已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则(A)a b c << (B)b a c << (C)c b a << (D)c a b <<二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

(13)251()x x-展开式中4x 的系数是＿＿＿＿＿(用数字作答)。

(14)已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则______.a =(15)已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是＿＿＿＿。

(16)已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,则ω的最小值是＿＿＿＿。

三.解答题:本大题共6小题,共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ (I)求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；(II)函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？(18)(本小题满分12分)每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).(I)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率； (II)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率； (III)连续抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。

(19)(本小题满分12分) 如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD AB AD ======(I)求证:AO ⊥平面BCD ； (II)求异面直线AB 与CD 所成角的大小； (III)求点E 到平面ACD 的距离。

(20)(本小题满分12分) 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点。

(I)求过点O 、F,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； (II)设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,并且线段AB 的中点在直线0x y +=上,求直线AB 的方程。

(21)(本小题满分12分) 已知()f x 是二次函数,不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

(I)求()f x 的解析式；(II)是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m 的取值范围；若不存在,说明理由。

(22)(本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ (I)证明:数列{}1n n a a +-是等比数列； (II)求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nn b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。

2006年高考(福建卷)数学文试题答案一.选择题:本大题考查基本概念和基本运算。

每小题5分,满分60分。

(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C (6)A(7)D (8)B (9)B (10)C (11)C (12)D 二.填空题:本大题考查基础知识和基本运算。

每小题4分满分16分。

(13)10 (14)14 (15)4 (16)32三.解答题:本大题共6小题,共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识,以及推理和运算能力。

满分12分。

解:(I)1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=++132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(II)方法一:先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度,得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62y x π=++的图象。

方法二:把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-平移,就得到3sin(2)62y x π=++的图象。

(18)本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决实际问题的能力。

满分12分。

解:(I)设A 表示事件“抛掷2次,向上的数不同”,则655().666P A ⨯==⨯答:抛掷2次,向上的数不同的概率为5.6(II)设B 表示事件“抛掷2次,向上的数之和为6”。

向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种,55().6636P B ∴==⨯ 答:抛掷2次,向上的数之和为6的概率为5.36(III)设C 表示事件“抛掷5次,向上的数为奇数恰好出现3次”,即在5次独立重复试验中,事件“向上的数为奇数”恰好出现3次, 3325511105()(3)()().223216P C P C ∴====答:抛掷5次,向上的数为奇数恰好出现3次的概率为5.16(19)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

满分12分。

方法一: (I)证明:连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中,由已知可得1,AO CO = 而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD(II)解:取AC 的中点M,连结OM 、ME 、OE,由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中,111,222EM AB OE DC ====OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线,11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=∴异面直线AB 与CD所成角的大小为(III)解:设点E 到平面ACD 的距离为.h,11 (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=在ACD ∆中,2,CA CD AD ==ABMDEOC12ACDS∆∴==而211,22CDEAO S∆===1.7CDEACDAO ShS∆∆∴===∴点E到平面ACD的距离为7方法二:(I)同方法一。

(II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则(1,0,0),(1,0,0),B D-1(0,0,1),((1,0,1),(1,2C A E BA CD=-=-.2cos,4BACDBA CDBA CD∴<>==∴异面直线AB与CD所成角的大小为(III)解:设平面ACD的法向量为(,,),n x y z=则.(,,).(1,0,1)0,.(,,1)0,n AD x y zn AC x y z⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩0,0.x zz+=⎧⎪∴-=令1,y=得(3,1n=-是平面ACD的一个法向量。

又1(2EC=-∴点E 到平面ACD的距离.37EC nhn===(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综y合解题能力。

满分12分。

解:(I)222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-圆过点O 、F,∴圆心M 在直线12x =-上。

设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++±=(II)设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= 直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根,记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+ 2012002212(),(1),22121k k x x x y k x k k =+=-=+=++线段AB 的中点N 在直线0x y +=上,∴2002220,2121k kx y k k +=-+=++ 0k ∴=,或1.2k =当直线AB 与x 轴垂直时,线段AB 的中点F 不在直线0x y +=上。