BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。
四、倒易点阵
A （-1/2，1/2，1/2） B （1/2，-1/2，1/2） D
O
E F H G
（1/2，1/2，-1/2）
四、倒易点阵
C(0,1/2,1/2)
B(1/2,0,1/2)
O
A(1/2,1/2,0)
BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。 FCC的倒易点阵就是一个BCC点阵，晶胞的边长为2/a。
以确定一个正点阵。 同样倒易点阵也可以用三个矢量来确定，即由 a*、b*、c*
三个矢量确定倒易点阵。
a*、b*、c* 即倒易基矢
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢 ——确定倒易点阵就是确定倒易基矢
a、根据正点阵的基矢 a、b、c 确定倒易点阵的基矢
a*、b*、c*
b、对于一切允许的整数h、k、l作向量( ha* kb* lc* )， 这些向量的终点就是倒易点阵的结点
V= 1 V*
3 .3 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易即：
b* c* a= V*
b=
c* a* V*
c= a* b* V*
四、倒易点阵
3 倒易点阵的基本性质
3 .4 任意倒易矢量 g=ha* kb* lc*
面。
必然垂直于正点阵中的（hkl）
(hkl)
3 .5 任意倒易矢量 的长度与晶面 间距有如下关系
b的. 面新间点距阵的中倒原数点，O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中{hkl}面
OP 1/d(hkl)
我们将实际晶体中一切可能的的{hkl}面所对应的倒易点都 画出来，由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
在晶体对入射波发生衍射的时候，衍射图谱、衍射波的波矢量、 产生衍射的晶面三者之间存在严格的对应关系。例如在电子衍 射花样中，每一个衍射斑点是由一支衍射波造成的，而该衍射 波是一组特定取向的晶面对入射波衍射的结果，反映该组晶面 的取向和面间距。
• 用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射 花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中的a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来代替，那么 a、b、c 就可
（100）
四、倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢 2通过如正何点确阵定，倒可易以点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
同样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞的体积。
（100）
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
人们在研究晶体对X射线或对电子束的衍射效应时，某晶
面{hkl}能否产生衍射的重要条件就是该晶面相对于入射束的取
向以及晶面间距d(hkl)。
满足： d(hkl)sin=n
-入射角
-波长
这是满足衍射的必要条件，但不是充分条件。
在X射线衍射分析和电子束显微分析等测试技术中将会用 到倒易点阵的知识。
根据
a*、b*、c*
即可作出倒易晶胞（或倒易原胞）
四、倒易点阵
3 倒易点阵的基本性质 3 .1 正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1，不同名基矢的点积为0，即：
a a* b b* b b* 1 a b*=a* b=b c*=b* c=c a*=c* a=0
四、倒易点阵
3 倒易点阵的基本性质 3 .2 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系，即：
倒易点阵中出现节点的条件的另一种表述：
倒易点阵中出现（hkl）节点的条件是，晶体中的任意一个原子必须 位于（hkl）平行晶面族的某一晶面上。
四、倒易点阵
4 实际晶体中的倒易点阵
(x, y, z)
hx+ky+lz=n（n=0, 1, 2, 3,……………..）
四、倒易点阵
相当于倒易晶 胞的在（001） 面上的投影
四、倒易点阵
简单六方点阵的倒易点阵仍是一个简单六方点阵。
四、倒易点阵
四、倒易点阵
(1/3, 2/3,1/2) 密排六方晶体的晶胞（六棱柱）和原胞(平行六面体)
c、结点的集合就构成倒易点阵
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢 假定正点阵中晶胞（原胞）的基矢为 根据倒易点阵与正点阵的对应条件：
a* 应平行于（100）面的法线方向
即： 长度：
a*//(b c)
a* 1 d(100)
a* b c 1 b c d(100)
（1）
a、b、c 。
四、倒易点阵
4 实际晶体中的倒易点阵
倒易点阵中出现节点的条件： 正点阵中相互平行的（hkl）面的全体包含（通过）所有的正点阵节 点。 例如：BCC和FCC的（002）平行晶面族包含了全部原子
（001）平行晶面族只包含了一半原子 所以：在BCC和FCC的倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
M
g =1/d(hkl)
g=ha* kb* lc*
四、倒易点阵
• 倒易点阵的一个点或一个矢g量 hA kB lC 代表正点阵的一族晶面。
• 倒易矢量的长度代表正点阵的晶面间距的倒 数， 矢量的方向代表正点阵的晶面的法线。
• 正点阵的一组二维晶面就可用一个倒易点阵 的一维矢量或零维的点来表示。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
为了从几何学上形象的确定衍射条件，人们就找到一个新 的点阵（倒易点阵），使其与正点阵（实际点阵）相对应。
对应的条件：新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一 定晶面，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。
具体条件：
a沿. 正新点点阵阵中中{原hk点l}面O到的任法意线结方点向P。(hkl) （倒易点）的矢量 OP 正好
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了研究衍射波的特性，1921年德国物理学家厄瓦尔 德(P．P．Ewald)引入了倒易点阵的概念。
• 倒易点阵是相对于正空间中的晶体点阵而言的，它是 衍射波的方向与强度在空间的分布。
• 由于衍射波是由正空间中的晶体点阵与入射波作用形 成的，正空间中的一组平行晶面就可以用倒空间中的 一个矢量或阵点来表示。