观测值与理论值的差异由抽样误差引起，即
观测值＝理论值。同时给出相就的备择假设HA ： 观测值与理论值的差值不等于0，即观测值≠理
论值
2.确定显著水平α 一般确定为0.05或0.01
3.计算样本的χ 2值
4.进行统计推断 χ χ
2
< χ > χ
2
α
P > α P < α
H0 H0
HA HA
2
2
α
χ2检验的注意事项
有效频率，即P(AB)=P(A)P(B)＝98/193 ×122/193
理论频数Ei＝理论频率×总数
＝ (98/193 ×122/193) ×193
＝（98 × 122）/193=61.95
即Eij＝Ri×Cj/T=行总数×列总数/总数
E11= R1 × C1/T=61.95
E21= R2 × C1/T=60.05
又叫列联表（contigency table）χ2检验， 它是研究两个或两个以上因子彼此之间是独立还 是相互影响的一类统计方法。
（一）2×2列联表的独立性检验
设A，B是一个随机试验中的两个事件，其中A 可能出现r1 、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果， 两因子相互作用形成4格数，分别以O11 、O12 、 O21 、O22表示，下表是2×2列联表的一般形式
三、χ2检验的用途
适合性检验
独立性检验
同质性检验
适合性检验（吻合度检验）
是指对样本的理论数先通过一定的理论分布推算出来， 然后用实际观测值与理论数相比较，从而得出实际观
测值与理论数之间是否吻合。因此又叫吻合度检验。
适合性检验的零假设是观测次数与理论次数之间无差
异。其中理论次数的计算一般是根据某种理论，按一
876只羔羊性别调察
性别
公 母 合计
观察值（O）
428 448 876
理论值(E)
438 438 876
O-E
-10 +10 0
要回答这个问题，首先需要确定一个统计量，
将其用来表示实际观测值与理论值偏离的程度；
然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进 行显著性检验。 判断实际观测值与理论值偏离的程度，最简 单的办法是求出实际观测值与理论值的差数。
98(R1) 95(R2)
有效率
59.2％ 67.4％
总数
122(C1)
71(C2)
193(T)
1.H0 ：给药方式与给药效果相互独立。
HA ：给药方式与给药效果有关联。
2.给出显著水平α ＝0.05
3.根据H0，运用概率乘法法则：事件A与事件B同时
出现的概率为：P(AB)=P(A)P(B)
口服与有效同时出现的理论频率＝口服频率×
总数 ５０ ５０
总数
３０
７０
１００
１．提出假设． Ｈ０：性别与对食品的偏爱无关 ＨＡ：性别与对食品的偏爱有关 ２．确定显著水平．（＝0.05） ３．检验计算．
c
2
( 10 15

( 40 35 0.5) 2 35

( 30 35 0.5) 2 35
3.857
４．统计推断．0.05２＝3.84，由于c２0.052，所以应该否 定Ｈ０而接受ＨＡ，即性别与对食品的偏爱有关，男女消费 者对两类食品有不同的态度．
给药方式与给药效果的2×2列联表 给药方式
口服 注射
有效
58 64
无效
40 31
总数
服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设
检验，即根据样本的频数分布来推断总体的分
布。
χ2检验与测量数据假设检验的区别 测量数据的假设检验，其数据属于连续变量，
而χ2检验的数据属于点计而来的间断变量。 测量数据所来自的总体要求呈正态分布，而
χ2检验的数据所来自的总体分布是未知的。
测量数据的假设检验是对总体参数或几个总体
χ2＝ ∑
Ei
χ2值的特点
可加性
非负值
随O和E而变化
χ2＝ ∑ （Oi－Ei）2
Ei
χ2值与概率P成反比， χ2值越小，P值越大， 说明实际值与理论值之差越小，样本分布与假设的 理论分布越相一致;
χ2越大，P值越小，说明两者之差越大，样本
分布与假设理论分布越不一致。
基本步骤
1.提出无效假设H0
例：在英语四级考试中，某学生做对了80个四择一选择题中
的28题，现在要判断该生是否是完全凭猜测做题 假如该生完全凭猜测做题，那么平均而言每道题做对的可能 性是1/4，因此80个题中平均而能做对80/4=20题，代入公 式有：
因此，该生可能会做一些题。
例：鲤鱼体色子代分离是否符合3：1比率
鲤鱼遗传试验子代观测结果 体色 子代观测尾 数 青灰色 1503 红色 99 总数 1602
定的概率通过样本即实际观测次数来计算。这里所说
的某种理论，可能是经验规律，也可能是理论分布。
确定理论次数是卡方检验的关键。
独立性检验
是指研究两个或两个以上的计数资料或属性 资料之间是相互独立的或者是相互联系的假设检 验，通过假设所观测的各属性之间没有关联，然 后证明这种无关联的假设是否成立。
同质性检验
χ2值就越大，越不符合；偏差越小，χ2值就越小，
越趋于符合；若两值完全相等时，χ2值就为0，表明 理论值完全符合。
理论值
观测值
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
χ2检验统计量的基本形式
k
χ2＝ ∑ （Oi－Ei）2 Ei
O－－实际观察的频数（observational frequency） E－－无效假设下的期望频数（expectation frequency）
著差异？
按国际柑橘协会讨论会的统计结果，132个柑橘应该有
132/12=11人是霉菌感染变质的，剩下的121个非变质柑橘，
代入公式有：
因此，在0.05和显著性水平下，该地区被霉菌感染柑 橘变质比率与国际柑橘讨论会的统计结果有显著差异，显然 根据比例可知该地区柑橘霉菌感染率小于国际柑橘协会讨论 会的统计结果。
在连续型资料的假设检验中，对一个样本方
差的同质性检验，也需进行χ2 检验。
χ2检验的原理与方法
χ2检验的基本原理 χ2检验统计量的基本形式
χ2值的特点
χ2检验的基本步骤 χ2检验的注意事项
χ2检验就是统计样本的实际观测值与理论推算
值之间的偏离程度。
实际观测值与理论推算值之间的偏离程度就决定
其χ2 值的大小 。理论值与实际值之间 偏差越大 ，
由于检验的对象－次数资料是间断性的，而χ 2分布
是连续型的，检验计算所得的χ 2值只是近似地服从χ 所得的χ 2值就有一定的偏差。 由次数资料算得的χ 2均有偏大的趋势，即概率偏 低。当df=1，尤其是小样本时，必须作连续性矫正。
2
分布，所以应用连续型的χ 2分布的概率检验间断性资料
χ
2
c＝
∑
（ Oi－Ei － 0.5 ）2
性别 男性 女性
“有机” １０ ２０
常规 ４０ ３０
总数 ５０ ５０
总数
３０
７０
１００
例： 有一调查以研究消费者对“有机”食品和常规食品 的态度．在超级市场随机选择５０个男性和５０个女性 消费者，问他们更偏爱哪类食品，结果如下．
性别 男性 女性
“有机” １０（１５） ２０（１５）
常规 ４０（３５） ３０（３５）
对于资料组数多于两组的值，还可以通过下面简式进 行计算：
O 1 n n pi
2
2 i
Oi －第 i 组的实际观测数
pi －第 i 组的理论比率
n－总次数
独立性检验
独立性检验的定义
2×2 列联表的独立性检验 2×ｃ列联表的独立性检验
r×ｃ列联表的独立性检验
独立性检验 （independence test）
（1）H0：鲤鱼体色子代分离符合3：1比率; HA：鲤鱼体色子代分离不符合3：1比率;
（2）取显著水平α ＝0.05 （3）计算统计数χ
2
：
需要连续性校正
df= k-1 = 2-1 =1
在无效假设H0正确的前提下，青灰色的理论数为：
Ei ＝1602×3/4=1201.5
红色理论数为： Ei ＝1602×1/4=400.5
1、任何一组的理论次数Ei 都必须大于5，如果Ei
≤5，则需要合并理论组或增大样本容量以满足
Ei ＞5 2、在自由度＝1时，需进行连续性矫正，其矫正 的χ2c为： χ2c＝
∑
（ Oi－Ei － 0.5 ）2
Ei
χ 2分布是连续型变量的分布，每个不同的自由度都有一个相 应的χ 2分布曲线，所以其分布是一组曲线。
映（O－E）2 的比重，最后将各组求和，这个总 和就是χ2 。
羔羊性别观测值与理论值 性别 公 母 合计 观测值 （O） 428 448 876 （Oi－Ei）2 理论值(E) 438 438 876 O-E -10 +10 0 （O－E）2 /E 0.2283 0.2283 0.4566
χ2值就等于各组观测 值和理论值差的平方与理 论值之比，再求其和。
参数之差所进行的假设检验，而χ2 检验在多 数情况下不是对总体参数的检验，而是对总体 分布的假设检验。
二、χ2检验与连续型资料假设检验的区别
χ2 检验 数据资料 总体 检验对象
连续型资料假设检验
连续型资料 正态分布
离散型资料
总体分布是未知的
不是对总体参数的检 验，而是对总体分布 的假设检验
对总体参数或几个总体 参数之差
羔羊性别观察值与理论值
性别
公 母 合计
观察值（O）