哥德尔说： 不。（1931）
数学： 思想的体操？ 数学= 公理；数学= 逻辑？
第四高峰： 第二次世界大战改造数学
维纳、科莫哥罗夫： 火炮自动控制 运筹学产生于战场 原子弹爆炸。冯.诺依曼的数学参与. 美国国家的应用数学小组(AMP). 柯朗. 水下爆破。 轰炸机的流体力学计算 密码破译. 图灵机的诞生 电子计算机产生 （中国数学仍然停留在纯粹数学， 没有介入反 法西斯战争的努力


中国大陆 中国台湾 韩国 瑞士 苏联
80 73 73 71 70


法国 英国 美国 巴西 莫桑比克
64 61 55 37 28
中国数学水平怎么样？


新华社：中国现在十分有陈省身、华罗庚那样 的大数学家？离国际水平多远？ 吴文俊：“不好说”，“不好说” 丘成桐：“还差得很远” 中国只是潜在的数学大国！ 许多人以为“中国离皇冠上明珠仅一步之遥” 大错特错！！ “取法乎上， 仅得乎其中”， “取法乎中， 则得乎其下矣！”
（2）检验数学真理的标准是实践吗？
黑色的1933年



希特勒上台. 排挤迫害犹太人. 4月,命令一切 犹太籍的教授立即离开校园. 爱因斯坦; H.外耳( Weyl , 妻子是犹太人); 冯.诺依曼; 柯朗; 诺特; 哥德尔; 波利亚; 兰道; 世界一流的顶尖的数学家到了美国. 那时美国 正在经济危机之中. 普林斯顿高级研究所的成立. 6名教授: 爱 因斯坦; 冯. 诺依曼; 外耳; Veblen, Alexander, Morse.

战后： 1948年的数学地图

1948： 美国仙农发表《信息的数学理论》 1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？ 1948： von Neuman 计算机方案形成
中国缺乏这样的数学偶像
信息时代的数学技术


冯.诺依曼组织“数字天气预报”(1950) 线性规划大发展. 计算机实时控制. 调度. 卡尔曼滤波. 航天技术 CT扫描. 拉东变换. 计算机模拟技术. 军事模拟. 计算机 软件的数学技术 金融数学技术
2002年国际数学家大会

霍金来了！ 纳什来了！ 中国数学取得世界瞩目的成就。 格局：美俄继续领先； 西欧紧随其后 日本正在迎头赶上； 中国是一个未知数。
陈省身猜想

“21世纪数学大国”（1988）。 数学大国的含义：“在独立平等的基础 上与世界各国的数学家进行交流”！

数学上还没有真正的独立！
20世纪核心数学飞速发展


从局部到整体 （拓扑） 从交换到非交换 （算子代数。 K理论） 从线性到非线性 （混沌、分维） 从低维到高维、无限维 随机数学大发展
第二部分


争取中国数学在世界上的 平等与独立
二十世纪数学简史


数学中心的转移： 巴黎 -------> 格丁根 ------->普林斯顿 1900 (1900-1933) (1933 --) 莫斯科大学. Steklov数学研究所 剑桥大学三一学院 巴黎Poincare 研究所 波恩Max-Plank研究所 加拿大Fields数学研究所
第三部分： 一些数学文化的理论问题



1。第三次数学危机？绝对主义的破灭。 2。检验数学真理的标准。纯粹数学为 什么会有用？ 3。 数学美的认识。 4。 推测数学是否允许存在？ 5。 中国考据学派对数学的影响。
（1）数学绝对主义的破灭



数学结论绝对正确是做不到的， 但是并 没有到达“危机”的程度。 选择公理是否准许使用？ …… ……
（中国没有以上原创的数学技术，紧跟）
中国科学最高奖

吴文俊： 机器证明 王 选： 印刷革命 数据压缩

陈景润： 1980年代的数学英雄
1970年： 走出布尔巴基的光环




布尔巴基的结构主义 冲破“函数论”王国的统治 用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。 集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓 扑、泛函分析…… 融为一体。 不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数 学、离散数学…… 1950年。吴文俊在《科学通报》介绍布尔巴 基。 无人喝彩。 1970年。 年轻数学家走出布尔巴基的影响 1980年。 中国大规模介绍布尔巴基学派。
三个伟大的方程：忽略少谈的数学家 热传导方程 傅立叶 （内燃机） 流体力学方程 拉普拉斯 （航空） 电磁学方程 马克斯韦尔 （电磁波）
傅立叶（1768 1830）

科学文化的代表：
数学与物理


狭义相对论与四维时空。 广义相对论与黎曼几何。 杨-米尔斯场 – 陈省身的纤维丛理论 高维 – 低维（四维最难） Witten（ 物理学家）获得数学最高奖 霍金（理论物理学家）参加2002 数学家 大会
B A
B(A-B) = (B+E)[A-(B+E)] BA – B2 = BA – B2 +AE – 2BE + E2 整理得到 （A-2B）E + E2 = 0 略去 E ，得到结论 A =2B。
牛顿：自然哲学之数学原理



1687 完成， 1736出版“流数术”。 基督教镇压科学、处死科学家 基督教的教义为科学留下了空间：人生来是平 等的。 王室邀请数学家进入宫廷 牛顿（爵士）、莱布尼兹是外交家 欧拉（德国腓特烈大帝邀请到柏林、俄过沙皇 喀德林一世邀请去彼得堡） 中国除康熙邀请梅文鼎以外， 数学家不受重视
第一高峰：古希腊数学文化


“对顶角相等”是否要证明？ 中国古代算学没有角的概念， 谈不上 对顶角。 认为这是显然的， 不需证明。 几何原本。 命题15：对顶角相等。用 公理3：等量减等量， 其差相等。
A C B
古希腊和中国的春秋战国


古希腊城邦实行奴隶主的“民主政治”。 男 性奴隶主选举执政官， 决定财政、战争等大事。 民主需要辩论， 平等地说服。 理性思考。 崇 尚精神上的真理追求 中国春秋战国， 实行君王统治。 知识分子可 以百家争鸣， 但是以说服君王为目标。 中国 古代数学是官方的管理数学。崇尚实用。 《九 章算术》以丈量田亩，分配徭役，工程土方等 计算方法。
数学和其他学科一样，没有 绝对。
第三次数学危机， 是故作“惊人之语”



数学在一日千里地发展， 没有危机。 数学和其他科学一样， 真理都是相对的， 不存在绝对正确。 但是， 数学是思想材料， 按照逻辑展 开， 在可以感受到的日常数学问题中， 数学仍然比其他“经验科学”， 更加准 确。 数学大厦的底层有裂缝， 但是不会倾覆 倒塌。
17世纪中国数学。 牛顿发明微积分的时代



前奏 1606 徐光启和利玛窦翻译《几何原 本》前6卷。 1690年， 康熙帝向传教士白晋等学 习几何学， 对数。 1701年， 莱布尼兹将2进制数表交 给白晋， 白晋把伏羲64卦交给莱布尼兹。
鸦片战争后82）。 中国传统数 学最后一人， 吸收西方数学，开创中国 现代数学第一人。
数学文化与文化数学
华东师范大学数学系 张奠宙 2003. 12. 3 上海
目录

一。 数学是人类文明的火车头。四

个数学高峰 二。争取中国数学在世界上的平等 与独立 三。一些数学文化的理论问题 四。 数学文化视角
数学是人类文明的火车头 四个数学高峰


古希腊文明 -- 欧几里得《几何原本》 文艺复兴 -- 牛顿力学-微积分 18、19世纪人类文明 -伽罗华群论、非欧几何 电磁学方程 黎曼几何与爱因斯坦相对论 信息时代文明 -- 冯. 诺依曼计算机方 案
希尔伯特提出23个数学问题（1900）
报载：瑞典的一位女助教解决了第16问题

16。代数曲线和代数曲面的拓扑问题 第二部分 讨论 dy/dx = Y/X 的极限环的最大数目。 其中 Y,X 分别是x,y 的n次多项式
希尔伯特 1862-1943
苏联和中国的数学家研究过 n =2 的情形
陈省身和华罗庚
考试文化的影响

竞赛不是在考场上！
奥林匹克数学竞赛金牌 = 数学家？？？ 好胜与好奇。一字之差。 某大学副教务长说：“优秀学生不是 ‘高考状元’， 而是在600分以上的0. 618处。 如果你的孩子是状元， 当心他/ 她太注重细枝末节， 没有大前途。
21国参加的国际数学教育调查 （IAEP）1989。 13岁学生成绩

无限多盘糖果， 每盘各取一颗， 构成 一个拼盘。
拼盘里的元素不确定， 没有指出“选 择”的是什么糖！



用选择公理可以得出巴拿赫怪论（1923） “一个球， 可以分割为两个与原球全等的 球”。 于是倾向于不准用选择公理 但是选择公理十分有用， 例如有界的无限点 列必可选出收敛子列。 如图： 究竟用不用？ 没有绝对 正确的选择。
与伟列亚力（1815--1867）合作翻译 《几何原本》后9卷，美国Loomis的《代 微积拾级》（1859）。日本用此书。

中国最早的微积分译作

李善兰（1811 – 1882）
禾彳天 意思是
∫ dx
马克思韦尔
第三高峰： 19-20世纪初数学成就

1831-1879
法国大革命和法国数学学派（柯西、蒙日……） 德国工业的兴起和格丁根学派（高斯、黎曼） 群论、非欧几何、复数、四元数、分析的严密 化 …… （强调理性思维）


中国数学的发展



第一个数学博士胡明复。 哈佛大学 （1917） 1920年代数学系： 学士水平 1930年代数学系： 硕士水平 1940年代： 实际上能够培养博士 1980年代： 大陆正式授予第一批数学博 士