后令
从而可以得到M个分析滤波器H0(z), ... ,HM-1(z)的 幅频特性都是相对w=0为偶对称的，如图所示，
M=8。由图可得，H0(z)是低通滤波器，H7(z)是 高通滤波器，而H1(z), ... ,H6(z)是带通滤波器，
并且它们具有相同的带宽，都是 /8 。
H k (e j )
M 8
若M个滤波器的频率响应满足
M1
|
Hkc(为ej常)数|2（6c.2.17）
k0
则称H0(z), ... ,HM-1(z)是功率互补的。该式又可表示成
M1
Hk (z)H（k6(.z2).18c）
k0
~
式中
H(z)H（*(z6.12).19）
表示将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z ，若H(z)系数是实
图6.2.6 半带滤波器H0(z)， H1(z)及H0(z)+H1(z)的幅频特
性
半带滤波器的性质:
(1)1 2
通带纹波与阻带纹波相等
(2 )H 0(ej),H 1(ej)以2为对称 （ 3 ） P ,s与 2等 距
上述三个式子的含意是:
H0ej2
H1ej2
1
(4) h(0)c 其余的偶序号项全为零，有效的
6.2.5 互补型滤波器
1.严格互补滤波器 （strictly complementary filter，scf）
M1
Hk(z) czn0
k0
假定利用H0(z), ... ,HM-1(z)把x(n)分成M个子带信号，然后再把这M 个子带信号相加，有
M 1
X (z)H 0 (z) X (z)H M 1 (z) X (z) H k(z) X (z)c n 0 z k 0
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| H0 (e j ) | 0,
2
2
频带
H 1(ej)H 0(ej())
图6.2.2 两通道滤波器组 (a)系统框图；(b)镜像对称的幅频特性
6.2.3 第M(Mth)带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相 ，也即 E0恒(zM为) 一常数，即
M1
H(z)c(l 61.2z. 3l)El(zM)
x(n)
y(n)
↑L=M
H(z)
图6.2.4 为th滤波器时对插值后的滤波
如果将这样一个滤波器接在一个L 倍插值器后，且L=M，
如图6.2.4所示，那么
Y(z)H (z)X (zM ) c (M 6l .1 1 2z. 5lE ) l(zM ) X (zM )
该式意味着y(Mn)=cx(n)，这就是说，将x(n)作L=M倍的插
概念：一个滤波器组是指一组滤波器，它们 有着共同的输入，或有着共同的相加后的 输出,如图6.1.1所示。
x(n)
H0(z)
x0(n)
xˆ0 (n)
G0(z)
H1(z)
HM-1(z)
x1(n)
xˆ1 (n)
G1(z)
xM1(n)
xˆM1(n)
GM-1(z)
xˆ(n)
。 图6.1.1 （a）分析滤波器组， （b）综合滤波器组
由定M 理6.2.1，若假定c=1/2,则
H(z)H(z) 1
let
H(ej)H(ej()) 1
并假定H(z)具有线性相位，即
H0(z) H(z) H1(z) H(z)
H (ejw )ej(N 1 )w2H g(w ) 式H一图频中0(个6率z，.)2+全范.HH6通 围所1g((zw)系 内示的)是统 基。增w。 本可益的上H以在实0(等看z整函)，于出个数H1，频1，。(zH)带称及0(z内为H)+0等HH(z(1)于z(+)z的H)的11，(增z增)的相益益增当，在益于那整如是么个，
（6.2.3）式的M th滤波器也可推广到更一般的情况。
6.2.4 半带滤波器(Half-Band Filter)
h(n) c
n
图6.2.5 某一半带滤波器的h(n)
以上均是半带滤波器，即半带滤波器可以是因果 的，也可以是非因果的；其系数可以是实的，也 可以是复的。但是，在实际工作中，限定所要讨 论的对象是实系数的、因果的且具有线性相位的 半带滤波器。
H 1(z) x1(n ) M v1(n ) M u1( z ) G1(z)
xˆ ( n )
H M 1( z) xM 1 (n ) M v M 1 ( n ) M u M 1 ( z ) G M 1 ( z )
图6.1.3 M通道滤波器组
H0(e jw), H k(ejw )H 0(ei(w 2k/M ))
H0
H1
H2
H3
H4
Hale Waihona Puke H5H6H7
0
2
3
4 5
6
7
8
8
8
8
8
8
8
6.2.2 正交镜像滤波器组 （ Quadrature Mirror Filter Bank, QMFB)
令M=2，由图6.1.3，可得到一个两通道的滤波器
组如图6.2.2（a）所示。两通道分析滤波器的频
域关系有
| H0 (e j ) |
有线性相位的滤波器H(z)。
由图6.2.6，可以假定要设计的半带滤波器的截止频
率 wc 2 ，并令理想滤波器的频率特性为
值后，再经一个Mth滤波器，x(n)中所有的值乘以c后变为
y在Mn处的值。若c=1，则y(Mn)=cx(n)，在n的非M整数 倍处，即是插值的结果。
定理6.2.1 H(z)若是一 M th滤波器，则
证明:
M1
H(zWk ) 1
k0
el(n)h(Mnl)
Poisson 和公式
h(n)(nM il)
h(n)M 1M k01ej2k(ln)/M
i0,1, ,M1
n ~l0,1, ,M1
若令 H0(z)H(z) Hk(z)H(zWM k) k 则 H0 0,,1 H, 1 , ,..M . ,H M1 -1的 频率响应之和等于1，
这就是说，如果有一个M th滤波器h(n),那么将其依 次移位 2k 后M，所得到的M个滤波器的频率响应
之和等于1.
即 H k H ( e k(j z) ) H H0 0(e zj( W K k2 )K )， k0,1, ,K1
则称该滤波器组为均匀滤波器组。x(n) 经 H进k(一z)滤步波的后抽变取成以一降个低个其自抽带样信率号。，如因果此作可M倍以 的抽取，并且M=K，那么称该滤波器组为 最大均匀抽取滤波器组（maximally decimated uniform filter bank），称这种情况为临界抽样 （critical subsampling）这是因为M=K是保证 实现准确重建的最大抽取数。
减少计算量。
(5)若H(z)是非因果的、零相位的FIR滤波器，即h(n)=h(-n),那 么，h(n)的单边的最大长度为2J-1， 总的长度为N=2(2J-1)+1=4J-1
注意: 正交镜像滤波器并不要求:
H 0(ej)H (ej)1
半带滤波器既满足上式，又是正交镜像滤波器；而两 通道正交镜像滤波器不一定是半带滤波器。半带滤波 器在设计具有准确重建性能的滤波器组方面具有重要 的作用。
那么，其单位抽样响应必有
h(Mn) (e60(.2n).4) 0c
n 其它
0
满足（6.2.4）式的滤波器h(n)称为第M带滤波器
（Mth filter）又称Nyquist(M)滤波器。（6.2.4）式
的含意是，除了在n=0这一点外，h(n)在的整数
倍处恒为零，如图6.2.3所示。
h(n) c
n
图6.2.3 某一th滤波器的单位抽样响应（M=3）
图6.1.3的系统中，x ( n ) 对 x(n) 的失真原因：
• 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及
抽样频率不满足： fs 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在通
带内不“平”，而其相频特性不具有线性 相位所致；
• 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误差 来源于信号编码或处理算法，它和滤波器 组无关。
半带滤波器在两通道滤波器组的分析与实现中具有重要的作 用，本节讨论其设计方法。由6.2节所述，半带滤波器的单 位抽样响应h(n)除n=0以外的偶序号项皆为零，且其频率响 应有着(6.2.14)式的对称性。至今，人们已提出了多种半带 滤波器的设计方法，现择其主要讨论。 1.窗函数法 用窗函数法设计FIR滤波器是简单易行的方法。它包括： .令理想滤波器的频率响应为 Hd (；ejw) .对 Hd作(ejw积) 分求出理想的单位抽样响应hd(n); .对hd(n)截短、移位等步骤，最后得到因果的、有限长且具
6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器
6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器