例6.3.1 利用 Lagrange 插值法设计一半带滤波器
J=5(即N=19) H(z)共有18个零点，8个在右半平面共轭、镜像 对称，10个是在z=-1处的重零点，如图6.3.1a所 示。该滤波器的幅频响应如图6.3.1b所示，显然 该滤波器具有低通特性。
图6.3.1 19点lagrange半带滤波器的极零图与幅频响应
带内不“平”，而其相频特性不具有线性 相位所致；
• 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误差 来源于信号编码或处理算法，它和滤波器 组无关。
6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器
6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器
M=8。由图可得，H0(z)是低通滤波器，H7(z)是 高通滤波器，而H1(z), ... ,H6(z)是带通滤波器，
并且它们具有相同的带宽，都是 /8 。
M 8
Hk (e j )
H0
H1
H2 H3
H4 H5
H6
H7
0
2
3 4 5 6
7
8
8
8
8
8
8
8
6.2.2 正交镜像滤波器组 （ Quadrature Mirror Filter Bank, QMFB)
半带滤波器既满足上式，又是正交镜像滤波器；而两 通道正交镜像滤波器不一定是半带滤波器。半带滤波 器在设计具有准确重建性能的滤波器组方面具有重要 的作用。
6.2.5 互补型滤波器
1.严格互补滤波器 （strictly complementary filter，scf）
M 1
H k (z) cz n0
的抽取，并且M=K，那么称该滤波器组为
最大均匀抽取滤波器组（maximally decimated
uniform filter bank），称这种情况为临界抽样
（critical subsampling）这是因为M=K是保证
实现准确重建的最大抽取数。
在实际工作中，由于要处理的信号一般都是
实信号，因此总希望滤波器组中的所有2M 个滤波器的系数也都是实的。得到实系数
也就是说综合滤波器组G0(z),G1(z),...,GM-1(z) 的作用：去除插值后的镜像；实现真正的
插值；重建原信号
Hk (e j ) k 0 k 1
k M 1 k 0
a.无混叠
0
2
M
Hk (e j ) k 0 k 1
2 (M 1)
2
M
k M 1 k 0
b.有混叠
0
2
M
2 (M 1) 2
k 0
假定利用H0(z), ... ,HM-1(z)把x(n)分成M个子带信号，然后再把这M 个子带信号相加，有
M 1
X (z)H0(z) X (z)HM 1(z) X (z) Hk (z) X (z)czn0 k 0
X (z)对cz应n0 的时域信号是cx(n-n0),它和x(n)仅差了一个延迟和常 数倍。显然，这样严格互补的滤波器对于信号的准确重建是 非常有用的。
M
图6.1.2 分析滤波器组的频率响应
H0 (z) x0 (n) M v0 (n) M u0 (z) G0 (z)
x(n)
H1(z) x1(n) M v1(n) M u1(z) G1(z)
xˆ(n)
H M 1(z) xM 1(n) M vM 1(n) M uM 1(z) GM 1(z)
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念 6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器
6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器 6.3 半带滤波器设计 6.4 多抽样率系统的应用简介
6.1 滤波器组的基本概念
(
z)
H
(z)
X
(
z
M
)
c
M 1
(6.2z.5l E) l
l 1
(
z
M
)
X
(
z
M
)
该式意味着y(Mn)=cx(n)，这就是说，将x(n)作L=M倍的插
值后，再经一个Mth滤波器，x(n)中所有的值乘以c后变为
y在Mn处的值。若c=1，则y(Mn)=cx(n)，在n的非M整数 倍处，即是插值的结果。
定理6.2.1 H(z)若是一 M th滤波器，则
有线性相位的滤波器H(z)。
由图6.2.6，可以假定要设计的半带滤波器的截止频
率 wc 2 ，并令理想滤波器的频率特性为
H
d
(e
jw
)
1, 0
w 2
其他
于是可求出
即hd(n)是一个零相位的半带滤波器。将hd(n)截短并移位，得
式中，w(n)是选用的窗函数；h(n)即是所设计的半带滤波器， h(n)的长度是N=4J-1。
由定理6.2.1，Mth滤波器一定是scf。hbf是Mth滤波器的特例， 因此，hbf也是scf。然而，scf并不一定是Mth滤波器或hbf。
2. 功率互补滤波器（power complementary filter，PCF）
若M个滤波器的频率响应满足
M 1
| H kc(为e j常 )数|2 （6c.2.17）
这就是说，如果有一个M th滤波器h(n),那么将其依 次移位 2k 后M ，所得到的M个滤波器的频率响应
之和等于1.
（6.2.3）式的M th滤波器也可推广到更一般的情况。
6.2.4 半带滤波器(Half-Band Filter)
h(n)
c n
图6.2.5 某一半带滤波器的h(n)
以上均是半带滤波器，即半带滤波器可以是因果 的，也可以是非因果的；其系数可以是实的，也 可以是复的。但是，在实际工作中，限定所要讨 论的对象是实系数的、因果的且具有线性相位的 半带滤波器。
3.用单带滤波器来设计半带滤波器
欲设计一个半带滤波器H(z)，假定其长度为N，截止频率为
wp，阻带频率为ws。首先，用Chebyshew最佳一致逼近法设 计出一个“单带”滤波器G(z)，所谓“单带”，是令G(z)的
通带频率为2wp，阻带频率w为s ，从wp ~ 是其过渡带，因此， G(z)只是一个通带，没有阻带；然后，对g(n)作二倍的插值，
由定M理6.2.1，若假定c=1/2,则
H (z) H (z) 1
let
H (e j ) H (e j( ) ) 1
并假定H(z)具有线性相位，即
H0(z) H (z) H1(z) H (z)
H (e jw ) e j(N1)w 2Hg (w) 式H一图频中0(个6率z，.)2+全范.HH6通 围所1g((zw)系 内示的)是统 基。增w。 本可益的上H以在实0(等看z整函)，于出个数H1，频1，。(zH)带称及0(z内为H)+0等HH(z(1)于z(+)z的H)的11，(增z增)的相益益增当，在益于那整如是么个，
k 0
则称H0(z), ... ,HM-1(z)是功率互补的。该式又可表示成
M 1
Hk (z)H（k6(.z2).18c）
k 0
~
式中
H (z) H（*(z6.12).19）
表示将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z ，若H(z)系数是实
的，则
~
H (z) H (z 1)
下面的定理给出了pcf和Mth滤波器之间的关系。
图6.1.3 M通道滤波器组
H 0 (e jw ),
H k (e jw ) H 0 (ei(w2k / M ) )
图6.1.3的系统中，x(n)对 x(n) 的失真原因：
• 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及
抽样频率不满足： fs 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在通
证明:
M 1
H(zW k ) 1
k 0
el (n) h(Mn l)
Poisson 和公式
h(n) (n Mi l)
h(n)
1 M
M 1
e j 2 k (ln) / M
k 0
n ~
i 0,1,, M 1 l 0,1,, M 1
若令 H0(z) H(z) H k (z) H (zWMk ) k则H00,,1H, 1 , ,..M. ,HM1-1的 频率响应之和等于1，
定理6.2.2 给定一转移函数 H(z)，其多相表示为
M 1
H (z) z 1El (z M ) l0
再令
~
G(z) H(z)H(z)
当且仅当 G(z) 是一 Mth滤波器时，
E0 ( z),..., EM 1(z)
是功率互补的。
6.3半带滤波器设计
半带滤波器在两通道滤波器组的分析与实现中具有重要的作 用，本节讨论其设计方法。由6.2节所述，半带滤波器的单 位抽样响应h(n)除n=0以外的偶序号项皆为零，且其频率响 应有着(6.2.14)式的对称性。至今，人们已提出了多种半带 滤波器的设计方法，现择其主要讨论。 1.窗函数法 用窗函数法设计FIR滤波器是简单易行的方法。它包括： .令理想滤波器的频率响应为 H d (；e jw ) .对 Hd作(e j积w ) 分求出理想的单位抽样响应hd(n); .对hd(n)截短、移位等步骤，最后得到因果的、有限长且具
6.2.1 最大均匀抽取滤波器组
设HK某-1(一z) ,滤这波K个器滤组波有器K个有分关析系滤波器H0(z) , ... ,
即
Hk (z) H0 (zWKk )
H k (e j ) H 0 e j( 2