[该试题库启用前绝密] 注：[02A]表示02物师A 卷，以此类推。

理论力学（卷A ）[02A]一、填空题（每小题10分，共20分）1、作平面运动的质点的加速度在极坐标系下的分量表达式为2,2.r a r r a r r θθθθ=-=+；其中r 为径向速度大小的变化所引起的，r r θθ+为横向速度的大小变化所引起的。

2、保守系的拉格朗日方程为()0d L L dt q q αα∂∂-=∂∂，当0L q α∂=∂时，q α称为循环坐标，所对应的Lq αα∂=∂p 守恒。

二、选择题（每小题10分，共20分）1、两个质点分别为12,m m 的物体用一个倔强系数为k 的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示，当两个物体相距x 时，系统由静止释放，已知弹簧的自然长度为0x ，当物体相距0x 时，1m 速度大小为（D ）（A ）()201k x x m -，（B ）()202k x x m -，（C ）()2012k x x m m -+ ，（D ）()220112()km x x m m m -+2、一个均质实心球与一个均质实心圆柱在同一位置由静止出发沿同一斜面无滑动地滚下，则（D ） （A ）圆柱先到达底部。

（B ）质量大的一个先到达底部。

（C ）半径大的一个先到达底部。

（D ）球先到达底部。

（E ）同时到达底部。

三、计算题（每小题20分，共60分）1、一个质点在有心力作用下沿椭圆2(1)1cos a e r e θ-=+运动，上式中r和θ是以椭圆焦点为原点，长轴为极轴的极坐标；a 表示半长轴，e 表示偏心率(01)e <<，证明质点在“近日点” 处和“远日点” 处的速率之比为：1211v e v e+=- 解：由动量守恒2r h θ= hr θγ∴=故在近日点处：120(1)(1)hv r e a e θθ===+-∴在近日点处：22(1)(1)hv r e a e θπθ===-- ∴1211v e v e+=- 2、圆柱半径为R ，质量为M ，绕其轴作角速度为0ω的转动，然后将此圆柱无初速放在摩擦系数为μ的水平桌面上，问圆柱何时开始作纯滚动？解：由质心运动定理和转动定理，物体的运动微分方程为c Mx fd I fR dtf Mgωμ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩12I MR =可解出：c x gt μ= 02gt Rμωω=-+ 当满足关系c x R ω=时，园柱体作无滑滚动，由此可解出03gt gωμ=3、轴为竖直而顶点向下的抛物线形光滑金属丝，以匀角速度ω绕竖直轴转动，另一质量为m 的小环套在此金属丝上。

并沿金属丝滑动，已知抛物线的方程为24x ay =，a 为常数，试求小环的运动微分方程。

解：本题可用两种方法求解法一：用转动参照系的物理定律列出小环的运动微分方程如下2sin (1)cos (2)mx m x my N mgωθθ⎧=-⎨=-⎩ 由（2）式 cos mgN my θ=+（3）把（3）代入（1）可得：2()mx m x my mg tg ωθ=-+ （4）又有，dy tg dx θ=，24x y a =，242x x y x x a a ==，2122xy x x a a =+， 故有：22222(1)0442x x x m x mx mg m x a a aω+++-=法二：用拉格朗日方程求小环的运动微分方程22221[()].2T m x y x V mgy ω=++=22221[()]2L T V m x y x mgy ω=-=++-又 221,42x y y x a a==，利用这些公式有 22222221[(1)]244x x L m x x mg a aω=++-由拉格朗日方程()0d L Ldt x x∂∂-=∂∂可得 22222(1)0442x x xm a x m x mg m x a a aω+++-= 理论力学（卷B ）[02B]一、填空题（每小题10分，共20分）1、刚体作一般运动时，刚体内任意一点P 的速度为'A v v r ω=+⨯；加速度为''2'()A d a a r r r dtωωωω=+⨯+⋅-：其中,A A v a 表示基点的速度与加速度，'r 表示P 点相对于基点的位矢。

2、虚位移是 约束所许可的条件下，不是由于时间的改变所引起的位移 ；对 稳定约束 ，实位移是虚位移中的一个。

对 不稳定约束 ，实位移与虚位移不一致。

二、选择题（每小题10分，共20分）1、在以加速度a 向上运动的电梯内，挂着一根倔强系数为k ，质量不计的弹簧，弹簧下面挂着一质量为M 的物体，M 处于A 点，相对电梯的速度为零，当电梯的加速度突然变为零后，电梯内的观测者看到M 的最大速度为（A ）（A ）（B ）（C ）2（D ，（E ）上面四个答案都不对 2、两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一人感到手上承受的力变为（B ） （A ）3W ， （B ）4W ， （C ）6W ， （D ）2W ， （E ）34W三、计算题（每小题20分，共60分）1、从有心力场中运动的质点的总机械能()222212k m m r r E rθ+-=出发，并利用在近日点处0,0r θ==及守恒量2r h θ=，导出偏心率公式e =解： 由2222221122mk h mk E mr m r r rθ=-=-又 ,0,1cos 1p pr r e eθθ===++ 我们可得到：22221(1)(1)2h mk e E m e p p +=+- 又22h k p = 所以有221(1)(1)2h E m e e p ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦可解出2e = 2、质量为m ，长为2a 的均匀棒AB ，用铰链固定在A 点，棒从水平位置在铅直面内无初速开始运动，当棒在重力作用下，通过与竖直位置成45ο时，求棒的角速度。

解：由机械能守恒201sin 452I mga ω= 222114(2)333I m m a ma ===可解出ω=3、在一光滑水平直管中，有一质量为m 的小球，此管以恒定角速度ω绕通过管子的一端的坚直轴转动，如果起始时，球距离转动轴的距离为a ，球相对管子的速度为零。

用拉格朗日方程求小球的运动微分方程。

解：小球的绝对速度为'()()v v r xi j xi xi xk ωωω=+⨯=+⨯=-2221(),02T m x x V ω=+=2221()2L T V m x x ω=-=+()0d L L dt x x ∂∂-=∂∂ 2,L L mx mx x xω∂∂==∂∂ 可得20mx mx ω-=理论力学（卷C ）[03A]一、判断题（对的打“√”, 错的打“×”, 每题2分）1、切向加速度是因为速度的方向变化所引起的。

2、保守力作功与路径无关。

3、在有心力场中运动的质点动量守恒。

4、内力不改变质点组的总动能。

5、刚体作定点转动的自由度是3。

6、作用在刚体上的力可沿作用线移动而作用效果不变。

7、若作用在刚体上的所有外力的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。

8、轨道磨损和河岸冲刷是科里奥利力的影响。

9、质点发生实位移是需要时间的。

10、在稳定约束的情况下，实位移是虚位移中的一个。

1×；2√；3×；4×；5√；6√；7×；8√；9√；10√ 二、填空题（每题4分）1、在自然坐标系下，质点的切向加速度为dva dtτ=，法向加速度为2n v a ρ=。

2、在两个平动参照系之间的速度变换关系为v v v '=+0，加速度的变换关系为0a a a '=+。

3、在有心力场中运动的质点所受的力矩为零，因而 角动量 守恒。

4、当质点组所受合外力为零时，质点组的 总动量 守恒。

5、当质点组的内力和外力都是保守力时，质点组的 机械能 守恒。

三、选择题1、作一维运动的简谐振子，其拉格朗日量可写为（1） （1）221122L mx kx =- （2）212L mx = （3）212L kx =- （4）0L =2、一实心圆柱体，沿一斜面无滑动的滚下，下列说法正确的是（1） （1）机械能守恒，动量矩不守恒。

（2）质心动量守恒。

（3）机械能不守恒，动量矩守恒。

（4）没有守恒量3、火车在平直轨道上以匀加速0a 向前行驶，在车中用线悬挂着一小球，当小球静止时，悬线与竖直线的夹角θ可表达为（2） （1）0tg θ= （2）0a tg gθ=（3）0tg a θ= （4）tg g θ= 4、质量为1m 和2m 的两自由质点互相吸引，它们之间的引力势能为122km m r-，开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a ，当两点的距离为12a 时，质量为1m 的质点的速度为（1） (1)1v m=(2)1v m =(3)1v m=； (4)1v m =四、计算题1、试导出下面有心力量值的公式222mh dp F dr-=，式中m 为质点的质量，r 为质点到力心的距离，2h r θ==常数，p 为力心到轨道切线的垂直距离。

解：由于质点在有心力场中运动，因此，质点的机械能守恒，角动量守恒，在极坐标系下，质点的机械能可表达为：21()2mv V r E += 由于角动量守恒，故有pv h =，hv p=，代入上式221()2mh p V r E -+= 把上式两边对 r 求导有：22()12dv r dp mh dr dr--= 又 ()dvF r dr=-； 221()2dp F r mh dr -=2、一段半径R 为已知的均质圆弧，绕通过弧线中心并与弧面垂直的轴线摆动，求其作微振动的周期。

解：首先求质心的位置设单位弧长的质量为λ，则质心的坐标为：2c RCos ds RCos Rdsy mR θθθθθλθλθλ--==⎰⎰2R Sin Cos ds Rθθθθθθ-==⎰这样可求得悬挂点离质心的距离为：(1)c Sin Sin R y R RR θθθθ=-=-=-其次求圆弧的转动惯量 230(2)2(1)2I RSin Rds R Cos d θθθλλθθ-==-⎰⎰34()R Sin λθθ=-又2m R λθ=，202((1)Sin I mR θθ∴=- 由复摆动的周期公式2mgτ= 我们有：2τπ=3、在一光滑水平直管中，有一质量为m 的小球，此管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，如果起始时，球距转动轴的距离为a ，球相对于管子的速度为零，试由拉格朗日方程求小球沿管的运动规律。

解：小球的绝对速度为2222v x x ω=+因而动能为2221()2T m x x ω=+ 势能为0v =2221()2L T V m x x ω=-=+由()0d L L dt x x∂∂-=∂∂可得小球的运动方程为：20mx mx ω-=即20x x ω-=。