2
1
O
C
垂径定理
一、 圆的对称性
圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点
（1）思考∵OC=OD,
∴ΔOCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED=
∴AB 与CD 的位置关系是
（2）又∵点C 和点D 是一组对称点
∴CE= 即点E 是CD 的中点
（3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论
1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧
2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备：
（1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个
条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论
四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系
四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。
五、垂径定理及其推论的应用
（一）、选择题：
1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25
2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3
B 、3
C 、3
D 、2
3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A ．3
B ．5
C ．23
D ．25
4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）
A ．5
B ．7
C ．
375 D ．377
6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A ．6.5米
B ．9米
C ．13米
D ．15米
7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
8、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米
二、填空题：
9、若⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离是_____。
10、如图，圆O 的直径AB=8，AC=3CB ，过C 作AB 的垂线交圆O 于M ，N 两
点，连结MB ，则∠MBA 的余弦值为______．
11、若AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E,AE=9cm,BE=16cm,则CD=______cm.
12、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC 的长为（ ）
13、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱
CD 的高度为 m ．
14、如图，⊙O 的半径OA ＝10cm ，M 为AB 上一动点，则点M 到圆心O 的最短距离为___________cm 。
15、如图:⊙O 的直径AB ⊥CD 于P,AP=CD=4cm,则OP =______cm.
16、如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD
的长为___．
17、已知⊙O 中,AB 是弦,CD 是直径,且CD ⊥AB 于M.⊙O 的半径是
15cm,OM:OC =3:5,则AB=______.
18、已知O 到直线l 的距离OD 是72cm,l 上一点P,PD=26cm.⊙O 的直径是20,则P 在⊙O ______. 19、在⊙O 中,弦AB,CD 互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则⊙O 的直径是______.
20、在⊙O 中弦AB,CD 互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且AB 与CD 之间的距离是17cm,则⊙O 的半径是______cm.
21如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G ，B ，F ，E ，
GB ＝8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝____cm.
22、如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过
P 点的弦长的最小值是_____________。
三、解答题：
23、已知：如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD=78 °，AE 交⊙O 于B ，且
AB=OC ．求∠A 的度数．
C P O B A D
24、如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，且AE ＝1 cm ，EB ＝5 cm ，∠DEB
＝60°，求CD 的长．
25、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，过A ，B 向CD 引垂线，垂足分别为E ，F ，求证：CE=DF 。
26、如图，在⊙O 中，D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点，且AD ＝BE ．点C 为弧AB
上一点，连接CD 、CE 、CO ，∠AOC＝∠BOC． 求证：CD ＝CE ．
27、如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，//AB OC .
（1）求证：AC 平分OAB ∠.（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P .
若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．
28、在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ .
(1)如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；
(2)如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．
六、垂径定理的分类讨论
1、若⊙O的半径是13cm,弦AB=24cm,弦CD=10cm,AB∥CD,则弦AB与CD之间的距离是______cm.
2、⊙O的半径为5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD之间的距离为_____。
3、已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB 的长。
七、实际问题
1、如图，工人师傅要铸造一个与残轮同样大小的圆轮，需要知道它的半径，你能用所学的知识帮助工人师傅解决这一问题吗?请在右边的图中作出圆的半径．(保留作圆痕迹，不写作法)
2、有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度7.2ｍ，拱顶高出水平面2.4ｍ，现有一艘宽3ｍ，船舱顶部为正方形并高出水面2ｍ的货船要经过拱桥，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
3、我区为了更好地开展全民健身运动,在区政府东新建一个广场,在广场的正门安装了八个大理石球.小明想知道其中一个球的半径,于是找了两块各厚10cm的砖塞在球的两侧(如图),并量得两砖之间的距离是60cm.请你在图中利用所学的几何知识,求出大理石球的半径(要写出计算过程).
4、H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？。