2.复数的概念
对于任意两实数 x , y, 我们称形如 z x yi 或 z x iy 的数为复数.
其中实数 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
记作 x Re( z ),
y Im( z ).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x. 当 x 0, y 0时, z 0.
§1.1-1.2 复数及其表示式
1 复数的概念
2 复数的四则运算
3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
1. 虚数单位
简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍
理论，引入等式
i 2 1.
由该等式所定义的数i称为 虚数单位
虚数单位为i=j=sqrt(-1)
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
例 1.2
i i,
1.1.2 复数的四则运算
1. 复数相等 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.
注意
复数不能比较大小.
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2) 两复数的积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3)两复数的商 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
y
z x iy
( x, y)
y
o
x
x
（2）向量表示法
在复平面上, 复数 z 与从原点指向点z x iy 的 平面向量成一一对应 ,因此, 复数z也可用向量OP 来表示.
这时复数加、减法满
足向量加、减法中的平行
4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy.
复数的商
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z1 z2 2 2 i 2 2 z2 z2 z2 x 2 y2 x 2 y2
第一章 复数与复变函数
复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八 世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人
的长期努力，复数的地位才被确立下来。
复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面
发展。 为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗
贝尔、拉普拉斯等。 为这门学科的发展作了大量奠基工作的 则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在 复数领域的推广和发展 。
o
z r

x
x
x z,
y z , z x y , z z z z2 .
2
三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
y
复数的辐角
z x iy
P( x, y)
y
z r
o

x
x
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
1
i 4 n 1, i
4 n 1
i 2 1,
i,
i i i i ,
3 2
i
4 n 2
1,
i i i 1,
4 2 2
i 4 n 3 i ,
i 4 n 4 1.
……
1.1.3 复平面与复数的表示法
（1）几何表示法
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数z, 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数z的平面叫复平 面 .有时简称为z平面.
y y
Pz x iy
o
x
x
四边形法则.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|.
使用函数命令abs() 可
复数的模(或绝对值)
向量的长度称为 z 的模或绝对值,
y
y
z x iy
P( x, y)
记为 z r x 2 y 2 .
模的性质
复数运算的性质
1. 交换律 2. 结合律
z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1 . ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ); z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 .
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 . z1 z1 4. z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; . z2 z2 5. z z .
3. 分配律
6. z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
7. z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
z1 z1 z 3 4 i , z 1 i , 求 与 . 例 1.1 设 1 2 z2 z2
二、内容提要算 极限 连续性
复数
代 数 运 算 乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法
复变函数
几何表示法 向量表示法
判别定理
三角及指数表示法
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数的极限与连续