SARS 的传播周金华 黄梦丽 张龙摘要：SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性在本题中给出了一个早期数学模型，她在短期内有着计算参数简单等适用性和合理性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。

基于此我们考虑应该引进新的参数建立更优的模型。

由此我们建立了SIEPR 模型:由上图示列方程:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++++-+=+=----=+-+=----=P R I E S N R P I E S P d Ie E dt dPP d dt dReI kI T t I T t S dt dI E Ik S dt dE T t I T t S S E dt dS0000.,,,)(2)()()()21()()(1μβμλββσλσβ 此模型考虑到了健康人、自由带菌者、疑似病人、确诊病人、死亡者及回复者，比较全面的考虑到了疾病期间人员的组成，通过建立SIEPR 模型并考虑到实际情况很好的解决了题目的要求，为未来患病人数的预测、疾病的传播范围以及疾病对生产生活的影响作出了比较好的评价，很有实用价值。

求解模型所面对的困难建立一个真正能够预测及为预防提供可靠的模型存在着一些困难，1 ） 当疫情发生时，人们缺乏对疫情前期发展的数据记录，导致模型对整体情况的建立存在偏差，而且对参数的取值和调整也存在一定的影响。

2 ） 在模型的建立过程中做一些假设和模型求解过程中作的近似也会对结果造成影响，因此对实际的预测也会存在误差。

3 ） 对于影响疫情的因素，比如人口的流动，公共卫生的情况等还需要更多具有实际意义的确诊病人P 疑似者E自由带菌者I健康人S 治愈/ 死亡者R α β2β1λeμd k统计数据。

4）对合理约定的参数的求解中，每个地区的医疗卫生水平，经济发展状况，人口密度等的不同，不能用全国的总情况进行分析，难以找到比较齐全的数据。

5）拟合曲线时，有些数据所得到的点的有可能偏离太大，求不出较准确的参数。

对于问题三通过数据拟合求出2003年的预估旅游人数，然后采用相对增长减少量a 来估计2003年的旅客数。

其中 a=（真实值-预估值）/预估值作图得出变化趋势，以此评价SARS 对旅游业的影响 对于问题四所写短文通俗易懂，很好的说明了数学建模在疾病预测雨控制方面的重要性一．问题重述：SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二：问题的求解： 1.问题一的求解：对附件1模型的评价附件一中的模型以在某种社会条件下，加入了病人的传染期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势 （一）合理性1.此模型考虑了传染期L 的限制，并采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从传染的基数中去掉。

每个病人可以直接感染他人的时间L 以及每个病人每天可传染人数k 进行了合理的参数设计，并且考虑了在不同社会条件下的参数的变化。

建立了在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系：N （t ）=K)(1 N 0 t考虑了传染的期限L 和概率K 2.对前期描述的合理性由于前期传染源未受控制，所以累积病例数是成指数上升的.该模型对这段时期的描述是合理的（二）实用性模型简单，计算量小，容易理解和使用。

对北京、广东与香港的疫情进行了分析和比较，预测值和实际统计较接近；适当挑选初始值N0和参数K L 就可以描述不同地区、不同控制措施下的传染情况 （三）适用性：模型通过对香港和广东的疫情分析和计算，对北京的疫情进行了预测，模型具有实际情况的应用价值。

在发病早期，此模型可以预测疫情的发病情况，对疫情的控制和预防具有一定的参考价值。

（四）不足1对于如何确定初始值N0和参数K L缺乏一般的原则算法，2此模型存在明显的缺陷，这种指数变化的趋势作为长期预测不合理，首先指数的增长对长期的预测不符合实际情况，对后期的预测出现明显的偏差，而且该模型只有两个变量，对SARS的传播的影响因素考虑过少。

（五）对参数的分析L：L可理解为平均每个病人在被发现前可以造成直接传染的期限。

1)参数L的确定缺乏依据K：参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。

2)K值不易确定K值的改变并非从高峰开始，而使从控制力度加大后，开始显现出效果的时期开始.3)从高峰期逐步调整K值到比较小的稳定值之间经历的时间（10天）缺少具体依据.2.问题二的求解：2.1模型分析1将传染期划分几个阶段阶段一：政府干预前，疫情未受控制，传染速率较快，与指数增长相似；阶段二：政府干预初期，疫情仍以较快速率增长，但扩散得到控制，直到达到最大值稳定；阶段三：政府干预，并采取有效促使，医疗完善，疫情缓解并开始恢复。

2 根据实际情况可知，出去广东、香港等疫情较早发生传播较快的地区外，其他城市政府控制较早，北京为政府干预迅速的地区。

3对SARS的基本了解传播途径：主要通过飞沫、与患者接触而传染：特点：无特效药可医治；SARS的潜伏期为2—11天，一般为4—5天，潜伏者几乎没有传染力.消毒可以有效的杀死SARS病毒.4在控制前，SARS的传播与一般传染病传播方式相同，可以采用一般传染病模型.2.2模型的建立（一）、模型假设1城市总人口在传染期内是一定的，忽略自然死亡、出生迁移的影响2发现的病人会被严格隔离，被隔离，治愈或死亡后的人均不能感染其他人。

3所有人感染SARS的可能性相同4没有发现对SARS免疫的人群，治愈后的人不再感染5潜伏者几乎没有传染力，潜伏期为5天6单位时间内感染的人数与现有的感染者成比例7单位时间内治愈人数与现有感染者成比例8 康复的人对SARS已经具有免疫力同死亡者移出传染系统（二）、符号说明N：总人数M：政府的控制力度τ：潜伏期S(t)：健康人或易感人群E(t)：疑似病人（潜伏期人）I(t)：自由带菌者（病人）P(t)：确诊病人R(t)： 移出者（治愈及死亡）α： 每天健康人中发现疑似病例的概率1β： 每天从疑似者中排除，定为健康人的概率2β： 每天从疑似者中确诊为病人的比率λ： 平均每个病人每天感染健康人的概率 e ： 每天自由带菌者确诊为病人的比率 μ： 每天病人康复的比率 d ： 每天病人死亡的概率 (三)、参数的确定与说明1、a ：平均每个带毒者每天传染的有效人数。

需从有关的医学资料及其它数据进行验证。

2、q ：单位时间内移除系统的人数比例。

当天确诊当天治愈当天死亡人数+=+=r d q随时间t 的增长，人们对疾病愈来愈了解，q 值会不同。

根据已有的数据进行推测 q 。

一般用分段常数表示。

3、s 1s2当天疑似病例人数数每天被排除的疑似病例=s 1当天疑似病例人数病的人数疑似病例中每天确诊患=s 24、e b k由于状态I 是个隐状态，参数e b k 不能直接观察得到。

dt t E dt t bS s ⎰⎰+∞+∞=010)()(dtt E dt t kI s⎰⎰+∞+∞=002)()(dtt I e k dt T t S T t aI )()()()(00⎰⎰+∞+∞+=--(四)：模型的建立由于总人口N 足够大，所以可以将变量S ，I ，E ，R 都看作连续可微变量，列微分方程模型。

采用房室模型法 <一>政府控制前：在政府介入之前，SARS 传播可以看为一般传染病的模型，并且μ较小λ较大健康人S 疑似者E 病人I治愈者Rλ μβ2由上图列方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=-=-=-=0000,,,22R I E S N E R I S I dt dR I E dt dI E IS dt dE IS dt dSμμββλλ<二>政府控制后：1）采取了隔离的措施，只有不可控制的感染者[I(t)*（1-e ）]能传播SARS 病毒.2）政府对预防SARS 的宣传力度加大，公民对SARS 的防护程度有所提高——此效应由政府的控制力度M 表现，因此，在感染期限内，每名感染者所能传染人数有所下降.由上图示列方程:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++++-+=+=----=+-+=----=P R I E S N R P I E S P d Ie E dt dPP d dt dReI kI T t I T t S dt dI E Ik S dt dE T t I T t S S E dt dS00000.,,,)(2)()()()21()()(1μβμλββσλσβ确诊病人P疑似者E自由带菌者I健康人S治愈/ 死亡者 Rαβ2β1λeμdk(五)、模型求解 <一>政府控制前：政府控制前由于人们对SARS 的模糊认识，没有很好的预防传染和治愈手段，因此，可视为0≈μ，0≈R 且感染人数相对于北京人口基数很小，病人对总健康人的影响很小，视N S ≈IN dt dI dE λ=+ 解得C IENt InI +-=λ （t I IEN In C 000λ++=）（或解得⇒-=12βλIEdI dE ） <二>政府控制后：我们需要定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件，即研究病人随时间的变化为重点。

由附件2的数据知，相对于北京人口数，至6月23日染病人数仅为2521人。