解：1. 当实心轴和空心轴的强度相同 时，两者的抗扭截面系数应该相等
16
D13
16
D3 1 4
于是有
D13 (90)3 (1 0.9444 )
D1 53.1mm 0.0531m
2. 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等 于横截面面积之比。
实心轴和空心轴横截面面积为
A1
D12
4
(0.0531)2
已知：P＝7.5kW, n=10心
圆轴的内外直径之比 = 0.5。二
轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
开口/闭口薄壁杆件扭转比较
总结
1、受扭物体的受力和变形特点
2、扭矩计算，扭矩图绘制
P
P
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T
IP
max
Tmax Wt
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
Tl
GI P
m ax
Tm a x GI p
• 作业：习题 3-5
•
3-10
•
3-20
例题3.4
2dA
A
2
0
D
2 d
3dd
2
令： 则：
Wt I p /(D / 2)
实心轴与空心轴 I与p W对t比
扭转强度条件
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(Tmax Wt
)max
强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度： max
69.3103 m 69.3mm
7640N m
按刚度条件
d2
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
76mm
d2 76mm 5.选同一直径时
d d1 86.4mm
A
6. 将主动轮安装在两从 动轮之间
C
d1
C d2
M e1
M e2
4580N m 7640N m
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩
由公式 M e 9549P / n
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图 讨论：变换A、D轮的位置， 扭矩将如何变换？
MB
MC
MD
MA
Tmax 1432N m
传动轴上主、从动 轮安装的位置不同， 轴所承受的最大扭矩 也不同。前者的布局 比较合理
汽车传动轴
汽车方向盘
扭转受力特点： 杆件受到大小相等, 方向相反且作用平面垂直于杆件
轴线的力偶作用 变形特点: 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
具有上述特征的变形称为扭转变形。
工程上，以扭转变形为主的杆件称为轴
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： W P 1000(N m)
外力偶作功完成：
W
Me
2
n 60
P
P
2.扭矩和扭矩图
用截面法研究横截面上的内力—— 扭矩
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+), 反之为负(-)
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
dx
d
dx
根据变形后横截面仍为平面、半径仍为直线的假设
距圆心为
处的切应变：
d
dx
也发生在垂直于半径的平面内。
d —— 扭转角 沿x轴的变化率。
dx
2.物理关系
剪切胡克定律： G
距圆心为
处的切应变：
d
dx
距圆心为 处的切应力：
G
G
d
dx
， 垂直于半径
根据切应力互等定理：
D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3 （2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa
满足强度要求
例3.3 如把上例中的传动轴改为实 心轴，要求它与原来的空心轴强度 相同，试确定其直径。并比较实心 轴和空心轴的重量。
Tmax Wt
D3
Wt 16
扭转刚度条件
m ax
Tm a x GI p
Ip
D4
32
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和，校核刚度 •已知T 和 ，设计截面 •已知D 和 ，确定许可载荷
例题3.6
某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm， 材料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长
度转角 =1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。
max
T Wt
例题3.7 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P3=240kW。已知[τ]=70MPa， =1°/m，G=80GPa。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
dx
令： d 单位长度扭转角
dx
d
T GI p dx
' d T
dx GI p ' T 180
GI p
rad/m ⁰/m
Tl
GI p
l
扭转刚度条件
m ax ——许用单位扭转角
m ax
Tm a x GI p
m ax
Tmax 180o
GI p
扭转强度条件
max
三、切应变 剪切胡克定律
各个截面上只有切应力没有正应力的 情况称为纯剪切
τ
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变
与切应力τ成正比
G —— 剪切胡克定律
G — 剪切弹性模量(GN/m2)
各向同性材料，三个弹 性常数之间的关系：
G E
2(1 )
四、剪切应变能
右侧面的剪力：dydz
d
dy
位移增量：ddx 剪力作的功：dW 1dydz ddx
令：Wt
Ip R
max
TR Ip
—— 抗扭截面系数，m3
公式适用于：
1）等直圆轴
2） max p
max
T Wt
I p 与 Wt 的计算
（1）实心轴
I p
2dA
A
Wt
Ip R
dA dd
I p
2dA
A
2
R 3dd
0
0
R4 D4
2 32
Wt
R3
2
D3
16
(2)空心轴
I p
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
解：1.外力偶矩 ，扭矩
2.扭矩图
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
max
16T
d13
7640N m
4580N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
按刚度条件
Tmax Wt
（2）设计截面： Wt
Tmax
（3）确定载荷： Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动
轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩 T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴的 强度。
解：（1）计算抗扭截面模量 d 0.945
B
C
D
A
T3
MA
A
318N. m
795N. m
1432N. m
• 作业： • 习题：3.1 （c) 3.2
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
现象： 1.方格左右两边发生相对错动， 变成平行四边形； 2.圆筒沿轴线及周线的长度没 有变化。
横截面上只有切应力，没有正应力
采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行 的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分 布。
了一个微小角度；
Me
2. 纵向平行线仍然保持为直线且
pq pq
Me
相互平行，只是倾斜了一个微
小角度;
x
3. 正方形网格加外力偶后变成平
pq
行四边形。
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，
圆轴扭转的平面假设：变半形径后仍仍保保持持为为直平线面；，且形相状邻和两大截小面不间变的，
距离不变。
圆周边缘上的切应变
Me
pq
Me
pq
p
q
d a d
a' O
c
bR
p
b′ q
dx
——扭转角（rad）