材料力学第三章答案
3.1
试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面的扭矩并作扭矩图。

解：
x
(a)
-10
-35
T/kN m
.x
(b)(d)8
-16
T/kN m
.x
20
-50-30
T/kN m
.x
(c)800
-600
T/kN m
.
3.2 薄壁钢管外径为mm 114，受扭矩m kN 8⋅作用，用薄壁圆管的近似公式确定所需的壁厚t 值。

设容许切应力[]MPa 100=τ。

解：[][]mm r T t t r T 92.3100
5721082226
22=⨯⨯⨯=≥⇒≤=
πτπτπτ，取mm t 4=。

3.3 如图所示为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上的切应力分布图。

解：
3.4 直径为mm d 50=的圆轴受力如图所示，求：(1)截面上处A 点的切应力；(2)圆轴上的最大切应力。

解：MPa I T p
4.20
5.125032
1014
6
=⋅⨯⨯=
=πρτρ MPa W T t 7.4016
5010136max
=⨯⨯==πτ
3.5 图示圆轴的直径mm 100=d ，mm 500=l ，kN.m 71=M ，kN.m 52=M ，已知材料GPa 82=G 。

试求：（1）轴上的最大切应力，并指出其所在位置；（2）C 截面相对于A 截面的相对扭转角。

解：扭矩图如下
x
2
5
T/kN m
.
MPa W T t 5.2516
10010536max max
=⨯⨯==πτ，发生在BC 段外表面。

ο11.00019.032
1001082500
1053210010825001024
364362211-=-=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=+=+=rad GI l T GI l T P P BC
AB AC ππϕϕϕ。

3.6 图示阶梯形圆轴ABC ，其中AB 段为直径为1d 的实心轴，BC 段为空心轴，其外径125.1d D =。

为了保证空心段BC 的最大切应力与实心段AB 的最大切应力相等，试确定空心段内径d 2。

解：()242422
31121max 1616t t t t W d D D d W W T W T =-=
=⇒==π
πτ ()214313
22292.037.1D d d D D d ==-=⇒
3.7 图示AB 轴的转速min 120r n =，从B 轮输入功率=kW 13.44=P ，功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴II ，另一半由水平轴I 输出。

已知mm 6001=D ，mm 2402=D ，mm 801=d ，mm 602=d ，mm 1003=d ，
[]MPa 20=τ。

试校核各轴的扭转强度。

解：m kN n P T ⋅=⨯=⨯
=51.312013.4455.955.93 m kN n P T ⋅=⨯=⨯=76.1120065
.2255.92/55.91
m kN D D n P T ⋅=⋅⨯
=⋅⨯=70.0240/600120065
.2255.9/2/55.9212
MPa W T t 5.1716
801076.136
111max =⨯⨯==πτ
MPa W T t 6.161660107.036222
max =⨯⨯==πτ；MPa W T t 9.1716
100105.336
333max =⨯⨯==πτ
3.8 三个皮带轮安装在阶梯轴上，其相关尺寸示于图中。

中间皮带轮为主动轮，输入功率为kW 40，左、右各有一只从动轮，其输出功率分别为kW 15和kW 25。

已知轴的转速为min 180r ，轴材料的许用应力为
[]MPa 80=τ。

试校核轴的强度。

解：m N n P M A A ⋅=⨯=⨯
=8.7951801595509550 m N n P M B B ⋅=⨯=⨯=2.212218040
95509550
m N n P M C C ⋅=⨯=⨯=4.1326180
25
95509550
[]τπτ≤=⨯⨯===MPa W M W T t A t 3.631640108.795331111max ；[]τπτ≤=⨯⨯===MPa W M W T t C t 3.3116
60104.132633222
2max
所以，该轴满足强度要求。

3.9 由厚度mm 8=δ的钢板卷制成的圆筒，平均直径为mm 200=D 。

接缝处用铆钉铆接（如图所示）。

若
铆钉直径mm 201=d ，许用切应力[]MPa 60=τ，许用挤压应力[]MPa 160=bs σ，筒的两端受扭转力偶矩m kN 30⋅=e M 作用，试确定铆钉之间允许的最大间距s 。

解：考虑无接缝的圆筒，其纵向切应力
δ
πδπττ2222D M r T
e =
==' 假设整个圆筒长度为l ，则整个长度上形成的剪切合力为
2
2D l
M l F e πδτ=
'= 考虑有接缝的圆筒，剪切合力应由铆钉（假设共有n 个，则n
l
s =）承担，每个铆钉承受的剪力或挤压力为
s D M n D l M n F F F e
e bs s ⋅===
=2
222ππ 由剪切条件：
[][]mm M d D s d D s M A F e e s s s 5.39103082020060886
2
222122212=⨯⨯⨯⨯⨯=≤⇒≤⋅⋅==ππττππτ
由挤压条件：
[][]mm M d D s d D s M A F e bs bs e bs bs bs 6.53103028
20200160226
21212=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=≤⇒≤⋅⋅==πδπσσδπσ
故铆钉之间允许的最大间距s 为39.5mm 。

3.10 图示为外径D 及壁厚t 的圆杆，左端A 为固定端，承受载荷集度为m 的均布力偶作用。

设该圆轴的扭转刚度p GI 为常数，试求自由端B 的扭转角ϕ。

解：任意x 位置截面的扭矩为
()()x L m x T -=
()()dx GI x T x d p
=ϕ 故()()p
L p L p AB B GI mL dx GI x L m dx GI x T 22
00
⎰⎰
=
-===ϕϕ
3.11 直径mm 50=d ，长度为5m 的实心铝制圆轴，最大切应力为40MPa ，铝的剪切弹性模量GPa 3.26=G 。

求轴两端的相对扭转角。

解：ο4.17304.050
103.265000
40223
max max max ==⨯⨯⨯⨯=====rad Gd l GI l W GI Tl W T p t p t ττϕτ；
3.12 图示实心圆轴ABC ，转速为min 420r ，传递的总功率为kW 300。

假设许用单位长度扭转角
[]m 5
.0ο
='ϕ，剪切弹性模量GPa 80=G 。

试确定AB 段的直径d 及BC 段的直径D 。

解：m N n P M A A ⋅=⨯=⨯
=0.18194208095509550 m N n P M C C ⋅=⨯=⨯=4.5002420
220
95509550
()()[]mm d m d mm rad d G d T GI T AB p AB AB 8.71/1000180
1080100.181932/1080100.181932323
43
3
43
3≥⇒'≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯===
'ϕπ
πππϕο
()()[]mm D m D mm rad D G D T GI T BC p BC BC 4.92/1000180
1080104.500232/1080104.500232323
43343
3≥⇒'≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯=
=='ϕπ
πππϕο，取[][]mm D mm d 9372==；。