解答题基础练(5)
1．(2019·南昌市江西师范大学附属中学模拟)为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元(假设这100名农民工的月工资均在[25,55](百元)内)且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：
(1)求m，n的值；
(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？
参考公式及数据：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d.
解(1)∵月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，
∴月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为15
100
＝0.15.
由频率分布直方图得(0.02＋2m＋4n＋0.01)×5＋0.15＝1，化简得m＋2n＝0.07，①由中位数可得0.02×5＋2m×5＋2n×(39－35)＝0.5，
化简得5m＋4n＝0.2，②
由①②解得m ＝0.02，n ＝0.025. (2)根据题意得到列联表如下：
∴K 2＝
100×(19×19－31×31)2
50×50×50×50
＝5.76<10.828，
∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．
2．(2019·葫芦岛模拟)已知数列{a n }是公比为q 的正项等比数列，{b n }是公差d 为负数的等差数列，且满足1a 2－1a 3＝d
a 1，
b 1＋b 2＋b 3＝21，b 1b 2b 3＝315.
(1)求数列{a n }的公比q 与数列{b n }的通项公式； (2)求数列{|b n |}的前10项和S 10.
解 (1)由已知得，b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝21，得b 2＝7，
又b 1b 2b 3＝(b 2－d )·b 2·(b 2＋d )＝(7－d )·7·(7＋d )＝343－7d 2＝315， 得d ＝－2或2(舍)，
所以b 1＝7＋2＝9，b n ＝－2n ＋11(n ∈N *)， 于是1a 2－1a 3＝－2a 1
，
又{a n }是公比为q 的等比数列，故1a 1q －1
a 1q 2＝－2a 1，
所以2q 2＋q －1＝0，q ＝－1(舍)或1
2，
综上，q ＝1
2，b n ＝11－2n (n ∈N *)．
(2)设{b n }的前n 项和为T n . 令b n ≥0,11－2n ≥0，得n ≤5，
于是S 5＝T 5＝5(b 1＋b 5)
2
＝25，
易知，当n >6时，b n <0，|b 6|＋|b 7|＋…＋|b 10| ＝－b 6－b 7－…－b 10＝－(b 6＋b 7＋…＋b 10) ＝－(T 10－T 5)＝－(0－25)＝25， 所以S 10＝50.
3.(2019·栖霞模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，F A ⊥平面ABCD ，ED ∥F A ，且AB ＝F A ＝2ED ＝2.
(1)求证：平面F AC ⊥平面EFC ； (2)求多面体ABCDEF 的体积． (1)证明 连接BD 交AC 于点O ，
设FC 的中点为P ，连接OP ，EP ， ∵O ，P 分别为AC ，FC 的中点， ∴OP ∥F A ，且OP ＝1
2F A ，
∴OP ∥ED 且OP ＝ED ， ∴四边形OPED 为平行四边形， ∴OD ∥EP ，即BD ∥EP ，
∵F A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴F A ⊥BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∵F A ∩AC ＝A ，F A ，AC ⊂平面F AC ， ∴BD ⊥平面F AC ，即EP ⊥平面F AC ， 又EP ⊂平面EFC ，∴平面F AC ⊥平面EFC . (2)解 V F －ABC ＝1
3S △ABC ·F A
＝13×34×4×2＝233， ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， ∴C 到平面ADEF 的距离为
3
2
CD ＝3， ∴V C －ADEF ＝13×(1＋2)×2
2
×3＝3，
∴V ABCDEF ＝V F －ABC ＋V C －ADEF ＝
53
3
. 4．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x 23＋y 2
4＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos α－sin α)＝6.
(1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程；
(2)在曲线C 1上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值． 解 (1)由条件得ρ(2cos α－sin α)＝2ρcos α－ρsin α＝6， 将ρcos α＝x ，ρsin α＝y 代入上式得2x －y －6＝0， ∴直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.
由⎩⎨⎧
x
3
＝cos θ，y
2＝sin θ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，
∴曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)．
(2)设点P 的坐标为(3cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离为
d ＝
|23cos θ－2sin θ－6|5
＝
⎪⎪⎪
⎪
4sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ－65
，
∴当sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝－1，即θ＝56π时，d max ＝|4＋6|5＝25，
此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3
2，1. 5．[选修4－5：不等式选讲]
(2019·四川省名校联盟联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋2a ，g (x )＝|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )－g (x )≤3；
(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥4恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )－g (x )≤3， 等价于|x －1|－|x ＋1|≤1；
当x ≤－1时，不等式化为－(x －1)＋(x ＋1)≤1， 即2≤1，解集为∅；
当－1<x <1时，不等式化为－(x －1)－(x ＋1)≤1， 解得－1
2
≤x <1；
当x ≥1时，不等式化为(x －1)－(x ＋1)≤1， 即－2≤1，解得x ≥1.
综上，不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1
2，＋∞. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|x －a |＋2a ＋|x ＋1| ≥|x －a －x －1|＋2a ＝|a ＋1|＋2a ， f (x )＋g (x )≥4等价于|a ＋1|＋2a ≥4， 若a <－1，则－(a ＋1)＋2a ≥4，∴a ∈∅； 若a ≥－1，则a ＋1＋2a ≥4，∴a ≥1. 综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．。