解答题基础练(7)
1．已知等差数列{a n }满足(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n ＋a n ＋1)＝2n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和T n .
解 (1)当n ＝1时，a 1＋a 2＝2×2＝4， 当n ＝2时，a 1＋a 2＋a 2＋a 3＝2×2×3＝12， ∵数列{a n }为等差数列，设公差为d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
2a 1＋d ＝4，2a 1＋3d ＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知：c 1＝1b a ＝a 1＝1， c 2＝2b a ＝a 2＝3， 又∵{c n }为等比数列， ∴公比q ＝c 2
c 1＝3，∴c n ＝3n －1，
又∵c n ＝n b a ＝2b n －1， ∴b n ＝1
2
(3n －1＋1)，
∴T n ＝12(30＋31＋32＋…＋3n －1)＋12n
＝12×1－3n
1－3＋12n ＝3n ＋2n －14
，n ∈N *.
2.在多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，BC ∥DE ，AC ＝CD ＝DA ＝DE ＝2BC ＝2，如图所示．
(1)求点B在平面ADE内的射影的位置，并说明理由；
(2)求多面体ABCDE的体积．
解(1)点B在平面ADE内的射影为线段AE的中点．
理由如下：
分别取AD，AE的中点G，H，连接CG，GH，BH，CE，如图所示．
则GH∥DE，且GH＝1
2DE，
又BC∥DE，且BC＝1
2DE，
所以GH∥BC，且GH＝BC，
所以四边形BCGH为平行四边形，则CG∥BH.
因为DE ⊥平面ACD ，CG ⊂平面ACD ， 所以DE ⊥CG .
因为AC ＝CD ，所以CG ⊥AD .
又DE ⊂平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，DE ∩AD ＝D ， 所以CG ⊥平面ADE . 则BH ⊥平面ADE ，
所以点B 在平面ADE 内的射影为线段AE 的中点H . (2)设点A 到平面BCDE 的距离为d ， 由题意得CD ⊥DE ，
则V 多面体ABCDE ＝1
3S 四边形BCDE ×d
＝13×1
2(BC ＋DE )×CD ×d ＝13×12⎝⎛⎭⎫1
2DE ＋DE ×CD ×d ＝32×13×1
2
DE ×CD ×d ＝32V 三棱锥A －CDE ＝3
2V 三棱锥E －ACD ＝32×1
3×DE ×S △ACD ＝32×13×2×1
2
×2×3＝ 3. 3．某快递公司收取包裹费用的标准如下：重量不超过1 kg 的包裹，收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超过1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计)加收5元．该公司最近60天的日揽件量如下表所示．
(1)若某人计划将A (0.3 kg)，B (1.8 kg)，C (1.5 kg)三件礼物随机分装成两个包裹寄出，求他需支付的费用不超过30元的概率；
(2)已知该公司从收取的每件包裹的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩
余的作为其他费用，且前台工作人员日揽件量不超过150件/人，每天的工资为100元/人．若目前前台有工作人员3人，则该公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？ 解 (1)由题意知寄出方式有以下3种情况．
易知支付的费用不超过30元的情况有1种， 故所求概率为13.
(2)由题意得
若不裁员，则该公司每天最多可揽件450件，平均每天揽件的数量为50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋350×0.2＋450×0.1＝260(件)，
则该公司平均每天的利润为260×5－3×100＝1 000(元)．
若裁员1人，则该公司每天最多可揽件300件，平均每天揽件的数量为50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋300×0.3＝235(件)，则该公司平均每天的利润为235×5－2×100＝975(元)． 因为1 000>975，所以该公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利． 4．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos α，y ＝sin α
(α为参数)，直线l 的参数
方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1－t ，y ＝3＋t (t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射
线m ：θ＝β(ρ>0)．
(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；
(2)设射线m 与曲线C 和直线l 分别交于点A ，B (均异于坐标原点O )，求|OA ||OB |
的最大值．
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)，
得(x －1)2＋y 2＝1， 令ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得(ρcos θ－1)2＋ρ2sin 2θ＝1， 化简得ρ＝2cos θ，
即曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－t ，
y ＝3＋t
(t 为参数)，得x ＋y －4＝0， 所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则
|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β22
sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝12(cos βsin β＋cos 2β) ＝
24
sin ⎝⎛
⎭⎫2β＋π4＋14. 由题意不妨设β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2， 则2β＋π
4∈⎝⎛⎭⎫－3π4，5π4， 所以当2β＋π4＝π
2
，
即β＝π8时，|OA |
|OB |取得最大值2＋14
.
5．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x |＋|2x ＋3|＋m ，m ∈R . (1)当m ＝－2时，求不等式f (x )≤3的解集；
(2)若对∀x ∈(－∞，0)，f (x )≥x ＋2
x 恒成立，求m 的取值范围．
解 (1)当m ＝－2时，
f (x )＝|2x |＋|2x ＋3|－2＝⎩⎨⎧
4x ＋1，x ≥0，
1，－3
2<x <0，
－4x －5，x ≤－3
2
.
由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，4x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧
－32<x <0，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－32
，－4x －5≤3，
解得－2≤x ≤1
2
，
所以不等式f (x )≤3的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
－2≤x ≤12. (2)由题意知当－3
2
<x <0时，f (x )＝3＋m ，
当x ≤－3
2时，f (x )＝－4x －3＋m 在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－32上单调递减， 所以当x <0时，f (x )min ＝3＋m . 设g (x )＝x ＋2
x (x <0)，
则－x >0，－x ＋2
－x ≥22，
当且仅当x ＝－2时等号成立， 所以x ＋2
x
≤－2 2.
要使f (x )≥x ＋2
x 恒成立，只需m ＋3≥－22，
解得m ≥－22－3，
所以m 的取值范围为[－22－3，＋∞)．。