。
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必 达（L’hospital）法则。
注意，在使用洛必达法则时，分子分母的表达式必须同时是未定式，即单独的极限同时 趋于 0 或 。
2．x→∞
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2．拉格朗日中值定理 （1）定理表述 【拉格朗日中值定理】如果函数 f（x）满足： ①在闭区间[a，b]上连续； ②在开区间（a，b）内可导，
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那么在（a，b）内至少有一点 ε（a<ε<b），使等式 f（b）－f（a）＝f＇（ε）（b-a）成 立。
图 3-1 从图 3-1 看出，在罗尔定理中，由于 f（a）＝f（b），弦 AB 是平行于 x 轴的，因此点 C 处的切线实际上也平行于弦 AB。由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。
3．柯西中值定理 【柯西中值定理】如果函数 f（x）及 F（x）满足： （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3）对任一 x∈（a，b），F＇（x）≠0，
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第 3 章 微分中值定理与导数的应用
3.1 复习笔记
一、微分中值定理 1．罗尔定理 首先我们引入费马引理： 【费马引理】设函数 f（x）在点 的某邻域 U（ ）内有定义，并且在 x0 处可导，如 果对任意的 x∈U（x0），有 f（x）≤f（x0）（或 f（x）≥f（x0）），那么 f＇（x0）＝0。 相关证明在此就不做过多介绍，感兴趣的同学可以参照相关的高等数学或数学分析教材。 通常称导数等于 0 的点为函数的驻点。 【罗尔定理】如果函数 f（x）满足： （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即 f（a）＝f（b）， 那么在（a，b）内至少有一点 ε（a<ε<b），使得 f＇（ε）＝0。

称为拉格朗日型余项。
2．佩亚诺型余项 在不需要余项的精确表达式时，n 阶泰勒公式也可写成
。 称为佩亚诺（Peano）型余项，上述公式称为 f（x）按（x-x0） 的幂展开的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式。
3．拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式 如果取 x０＝0，则 ε 在 0 与 x 之间。因此可以令 ε＝ （0<θ<1），从而泰勒公式变 成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式：
其中 1．拉格朗日余项
。这里 ε 是 x0 与 x 之间的某个值。
称 数 f（x）按（x－x0）的幂展开的 n 次泰勒多项式，公式
为函
称 为 f （ x ） 按 （ x － x0 ） 的 幂 展 开 的 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 n 阶 泰 勒 公 式 ， 而
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作为拉格朗日中值定理的一种特殊情况，有以下定理： 【定理】如果函数 f（x）在区间 I 上的导数恒为零，那么 f（x）在区间 I 上是一个常数。 （2）几何意义
如果把 f（b）－f（a）＝f＇（ε）（b-a）改写成
，由图 3-1 可看
出，等式左边为弦 AB 的斜率，而 f＇（ε）为曲线在点 C 处的切线的斜率。因此拉格朗日中 值定理的几何意义是：如果连续曲线 y＝f（x）的弧 AB 上除端点外处处具有不垂直于 x 轴 的切线，那么这弧上至少有一点 C，使曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB。
【定理】设
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（1）当 x→∞时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零；
（2）当｜x｜>N 时 f＇（x）与 F＇（x）都存在，且 F＇（x）≠0；
（3）
存在（或为无穷大），
那么
。
三、泰勒公式 对于一些比较复杂的函数，为了方便研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，譬 如多项式、三角函数等函数。泰勒公式就是一种用多项式来逼近复杂函数的表达公式。 【定理】如果函数 f（x）在含有 x0 的某个开区间（a，ｂ）内具有直到 n＋1 阶的导数， 则对任意 x∈（a，ｂ），有
2．曲线的凹凸性与拐点 （1）定义 设 f（x）在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1,x2 恒有