卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2014年)目录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2)2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (6)2012年卓越联盟自主招生数学试题 (12)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (16)2013年卓越联盟自主招生数学试题 (23)2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (25)2014年卓越联盟自主招生数学试题262011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值: 分时量: 分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( )A. B. C. D.2.已知则( )A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D.4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D.5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( )A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( )A. B. C. D.7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( )A. B. C. D.8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )A. B. C. D.9.数列共有11项,且满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( )A. B. C. D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值;12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短?13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明.2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故. (2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是故15.(1);(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。

该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。

对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解决问题和分析问题的能力。

选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。

计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。

2012年卓越联盟自主招生数学试题卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试数学本卷共100分，考试用时90分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。

答在试卷上的无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求（1）已知是定义在实数集上的偶函数，且在上递增，则（A）(B)(C) (D)（2）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（3）如图，在五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（）（A）21 (B)24 (C)30 ( D)48(4)设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数的取值范围为（A）(B) (C) (D)二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为．（6）设点在的内部，点，分别为边，的中点，且，则．（7）设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，则该点落入区域内的概率为．(8)如图，是圆的切线，是切点，与垂直，垂足是，割线交圆于，且，则（用表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（9）（本小题满分13分）在中，三个内角、、所对边分别为、、．已知．（1）求角的大小；（2）求的最大值．（10）（本题满分13分）设椭圆的离心率为，斜率为的直线过点且与椭圆交于两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线与轴相交于点，且，求的值；（3）设为椭圆的下顶点，、分别为直线、的斜率，证明对任意的恒有．（11）（本题满分15分）设，（1）证明：；（2）若，证明：．（12）（本题满分15分）已知数列中，，．（1）若对都成立，求的取值范围；（2）当时，证明．2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案(1)A；（2）B；（3）C；（4）B．（5）；（6）2；（7）；（8）．2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科）选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式32210x x -+<的解集为_____________．2. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2AC =，二面角P BC A --的大小为60︒，三棱锥P ABC -，则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为________．3. 当实数m 变化时，不在任何直线()221440mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的图形的面积为_____________．4. 已知函数()()2211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩．()244gx x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________．填空题（每题6分，共24分）5. 已知01a <<，分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为316．则a 的值为_______________．6. 设1e ，2e 为平面上夹角为θ（02θπ<≤）的两个单位向量，O 为平面上的一个固定点，P 为平面上任意一点，当12OP x y =+u u u r e e 时，定义(),x y 为点P 的斜坐标．现有两个点A ，B 的斜坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．则A ，B 两点的距离为______________．7. 若函数sin 4y x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心与y 轴距离最小的对称轴为6x π=，则实数ω的值为_____．8. 已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,8A B =U L ，A B =∅I ．若A 中元素的个数不是A 中的元素，B 中元素的个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为___________．解答题（共56分）9. （13分）设α∈R ，函数()()2cos 2sin 2cos f x x x x αααα=+++，x ∈R ．（1）若,42αππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值． （2）若()3f x =，求α与x 的值．10. （13分）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线的斜率之积为3-，左右两支上分别由动点A 和B ．（1）设直线AB 的斜率为1，经过点()0,5D a ，且AD DB λ=u u u r u u u r，求实数λ的值．（2）设点A 关于x 轴的对称点为M ．若直线AB ，MB 分别与x 轴相交于点P ，Q ，O 为坐标原点，证明2OP OQ a ⋅=．11. （15分）已知()f x 为R 上的可导函数，对任意的0x ∈R ，有()()000''4f x x f x x <+-<，0x >．（1）对任意的0x ∈R ，证明：()()()000'f x x f x f x x+-<（0x >）；（2）若()1f x ≤，x ∈R ，证明()'4f x ≤，x ∈R ．12. （15分）已知实数列{}n a 满足11a =，1n n a q a +=，n +∈N ，常数1q >．对任意的n +∈N ，有114n k n k a a +=≤∑．设C 为所有满足上述条件的数列{}n a 的集合．（1）求q 的值；（2）设{}n a ，{}n b C ∈，m +∈N ，且存在0n m ≤，使00n n a b ≠．证明：11m mk k k k a b ==≠∑∑；（3）设集合{}1m m k n k A a a C =⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∑，m +∈N ，求m A 中所有正数之和．附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考．．答案 选择题1. 答案：11⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ．提示：22x x=，把原式视作x 的三次多项式分解因2. ．提示：仔细算算．3. 答案：4π．提示：原式视作m 的二次方程()22440ym x m y --+-=，判别式0<即可．4. 答案：[]1,5-．提示：仔细算算． 填空题5. 答案：4．提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题．6.7. 答案：2．提示：仔细算算．8. 答案：44．提示：按A 中元素个数（A =0,1,2,…）逐个进行分类讨论．解答题9. 答案：（1）2cos α+；（2）2k α=π，（k ∈Z ）；38x n π=π+，n ∈Z ．提示：()2sin 2cos 4f x x ααπ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．10. 答案：（1）27λ=；（2）提示：222222A B B A A B B A A B B A P Q A BA B A B x y x y x y x y x y x y OP OQ x x y y y y y y -+-⋅=⋅=⋅=-+-，再带入2223A A y x a =+，2223B B yx a +即可．11. 提示：（1）即证()()()000'0f x x f x f x x +-->，构造函数()()()()000'g x f x x f x f x x =+--，对()g x 求导证明()g x 在[)0,+∞上单增即可．（2）由条件知()'f x 是R 上的单增函数，故()'f x 不可能恒等于零．如果存在正实数0δ>，及实数0x ，使()0'f x δ=，则对任意0x >，()()00f x x f x x δ+->．则当()01max 0,f x x δ⎧⎫-⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭时，()()()()000011f x f x x x f x f x δδδ-+>+>⋅+=，与条件矛盾．如果存在正实数0δ>，及实数0x ，使()0'f x δ=-，则对任意0x <，存在()00,x x x ξ∈+，满足()()()()000''f x x f x f f x x ξ+-=<．则当()01min 0,f x x δ⎧⎫-⎪⎪<⎨⎬⎪⎪⎩⎭时，()()()()()000011f x f x x x f x f x δδδ-+>-+>-⋅+=，与条件也矛盾．总之，题目中的条件永远不成立．故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题． 12. 提示：（1）化简11141n n q q q +--≤-，可得()2112n q q-≥-对任意正整数n 成立，左边在n 无穷大时是无穷小，所以2q =．（2）方法一：假设l 是1，2，3，…，m 中满足n n a b ≠中的最大角标．则1111111111222mmlll l l lk k kk kl l k kk k k k k k k a ba ba b a b---=======-=-=---≥-=∑∑∑∑∑∑∑．方法二：假设l 是1，2，3，…，m 中满足n n a b ≠中的最小角标，则()11112220m ml l l k kl l l l k k a ba b a b ++==-≡-+-≡±±±≡/∑∑（1mod 2l +）． （3）显然{}n a 的前m 项和是正数，当且仅当0m a >，此时i a （1i =，2，…，1m -）的符号随意．即{}n a ：1±，2±，4±，…，22m -±，12m -．这样的数列共有12m -个，若i a 与i b 符号相反，则进行配对（1i =，2，…，1m -）．于是，m A 中所有元素之和为1122222m m m ---⋅=．说明：（1）第11题中的条件永远是假命题，这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之． （2）第12题第2问中，取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零，取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路，应注意掌握．实际上，前者对应于Z 的欧几里得赋值，后者对应于Z 的p adic -赋值，这两个赋值数学本身的意义也很大．。