2011年卓越联盟自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A )6π(B )3π(C )23π (D )56π (2)已知sin2(?+?)=n sin2?，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于(A )11n n -+(B )1n n +(C )1nn - (D )11n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为 (A )153(B )155(C )53(D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i-+-+的最大值为(A )2-1(B )2-2(C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为 (A )y 2=16x(B )y 2=8x(C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为(A )3(B )2(C )3 (D )22(7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)(B )(14，1) (C )(14，+∞)(D )(1，+∞)(8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为(A(B(C(D )2 (9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A )100(B )120(C )140 (D )160(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，?表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用??表示变换的复合，先做?，再做?，用?k 表示连续k 次的变换，则???2??3??4是( ) (A )?4(B )?5(C )?2? (D )??2(11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ． (Ⅰ)设b n =a n +1-a n ，证明：若a ≠b ，则{b n }是等比数列； (Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值．(12)在△ABC 中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC ． (Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短(13)已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =x (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ． (Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P (X n =a +k )=p k ，求P (X n +1=a +k )，k =0，1，…，b ； (Ⅲ)证明：EX n +1=(1-1a b+)EX n +1． (15)(Ⅰ)设f (x )=x ln x ，求f ′(x )； (Ⅱ)设0<a <b ，求常数C ，使得1|ln |ba x C dxb a--⎰取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a ,b ，证明：m a ,b <ln2．2012年卓越联盟自主招生数学试题 2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-（2）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 （A ）先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变(D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48 有(4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p-=的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为 ．（6）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=u u u r u u u r， 则23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r．（7）设曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．(8)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）． 三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算（9）（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ． 已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值． （10）（本题满分13分）设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =u u u r u u u r，求k 的值；（3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-． （11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++； （2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<． （12）（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈． （1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围； （2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---L ． 2013大学自主招生模拟试题一一.选择题1． 把圆x 2+(y －1)2=1与椭圆9x 2+(y +1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )(A )线段 (B )不等边三角形 (C )等边三角形 (D )四边形2． 等比数列{a n }的首项a 1=1536,公比q=－12,用πn 表示它的前n 项之积。

则πn (n ∈N *)最大的是( )(A )π9 (B )π11 (C )π12 (D )π13 3． 存在整数n,使p +n +n 是整数的质数p ( )(A)不存在 (B)只有一个(C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个4．设x∈(－12，0),以下三个数α1=cos(sin xπ),α2=sin(cos xπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( )(A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α15．如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )(A) 4+11232+34 (B) 4－5232+34(C) 1－1232+34 (D)以上答案都不对6．高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二.填空题1．集合{x|－1≤log1x 10<－12，x∈N*}的真子集的个数是．2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，_z1·z2的实部为零，z1的辐角主值为π6，则z2=_______．3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。