函数的零点及判断零点个数提高题
1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>⎧=⎨++≤⎩，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[)1,1-
B ．[]0,2
C ．[)2,2-
D ．[)1,2-
【答案】D ．
【解析】
22()()232x x a g x f x x x x x a -+>⎧=-=⎨++≤⎩，而方程20x -+=的解为2，方程
2320x x ++=的解为1-或2-，所以⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-<a a a 212，解得12a -≤<．故选D ．
2．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时，[)[)
12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函
数()()(01)F x f x a a =-<<,的所有零点之和为（ ）
A ．21a -
B ．21a --
C ．12a --
D ．12a -
【答案】D ．
【解析】
当10x -<<时⇒10x >->，当1x ≤-⇒1x -≥，又f （x ）为奇函数，
∴0x <时， ()(]
12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ⎧--+∈-⎪=--=⎨⎪-+--∈-∞-⎩，（也可以不求解析式，依
据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322
x x x x ++=-=
132332
log (1)log (1)12a x a x a x --+=⇒-=⇒=-，可得x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=12a -．
3．已知函数2331()()ln 431x x f x g x x x x x -≤⎧==⎨-+>⎩
,,,，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C ．
【解析】
由题意得，函数()()y f x g x =-的零点个数即为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，分别作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象，如图所示，可得两函数的图象有3个不同的公共点，所以函数()()y f x g x =-的零点个数为3，故选C ．。