2x 2 x
2
2m
2x 2 x 2m2 8
0，利用换元设
t 2x 2x （ t 2 ），则问题转化为只需让方程 t2 2mt 2m2 8 0 存在大于等于 2 的解
即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 g t t2 2mt 2m2 8 0 。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点 x m 大于等于 2）或相交（其中交点在 x 2 两侧），
3：已知函数
f
x
kx ln x,
2, x x
0
0k
R
，若函数
y
f x k 有三个零点，则实数 k
的取值范围是（
）
A. k 2
B. 1 k 0
C. 2 k 1
D. k 2
思路：函数 y f x k 有三个零点，等价于方程 f x k 有三个不同实数根，进而等
价于 f x 与 y k 图像有三个不同交点，作出 f x 的图像，则 k 的正负会导致 f x 图
A．
ln 3 3
,
1 e
B.
ln 3 9
,
1 3e
C．
ln 3 9
,
1 2e
D．
ln 3 9
,
ln 3 3
思路：
f x
f 3x
f x
f
x 3
，当
x
3,
9
时，
f
x
f
x 3
ln
x 3
，所以
- 4 - / 18
ln x,1 x 3
f
x
ln
x ,3 3
x
，而 g x
9
f
区间 a,b 内至少有函数 f x 的一个零点，即至少有一点 x0 a,b ，使得 f x0 0 。 （1） f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设 f x 连续）
① 若 f a f b 0 ，则 f x 的零点不一定只有一个，可以有多个
（2）本题所求 k 在图像中扮演两个角色，一方面决定 f x 左侧图像直线的倾斜角，另一方
面决定水平线的位置与 x 轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。
例 4：已知函数 f x 满足 f x f 3x ，当 x 1,3, f x ln x ，若在区间1,9 内，
函数 g x f x ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
做出草图。而 y a 为一条水平线，通过图像可得， y a 介于极大值与极小值之间，则有在
三个相异交点。可得： a 2,2
答案：A 小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数所扮演的角 色，然后数形结合，即可求出参数范围。
例 2：设函数 f x x2 2x 2ln x 1 ，若关于 x 的方程 f x x2 x a 在0, 2上恰
② 若 f a f b 0 ，那么 f x 在a,b 不一定有零点
③ 若 f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号
3、若 f x 在a,b 上是单调函数且连续，则 f a f b 0 f x 在 a,b 的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设 函 数 为 y f x ， 则 f x 的 零 点 即 为 满 足 方 程 f x 0 的 根 ， 若
2
的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可 （2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期， 在图像中要准确标出，便于数形结合。
（3）巧妙利用 f x 的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正
半轴的情况，而负半轴可用对称性解决
的零点个数即为 f x 1 根的个数，即 f x 与 y 1 的
4
4
交点个数，观察图像在 x 0 时，有 5 个交点，根据对称性可得 x 0 时，也有 5 个交点。共
计 10 个交点
答案：D
小炼有话说：
- 5 - / 18
（1） f x 1 f x 2 类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性
断根的个数
（3）两函数的交点：
工具：数形结合
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变
为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）
或者确定参数的取值范围。
缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进
x 1 x 1
令 g' x 0 解得： x 1 g x 在 0,1 单调递 减 ， 在 1 , 单2 调 递 增 ， g 1 1 2 g l n 2g , ，0由图像可0得，,水平线 2y a 位于2 g 1,2g 2l 之 n 3 间时，恰好与 gn 3
则 优 先 进 行 参 变 分 离 。 所 以 在 本 题 中 将 方 程 转 变 为 a x 2ln x 1 ， 构 造 函 数 g x x2 l n x 1 并进行数形结合。
- 3 - / 18
（2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意 a 能否取到边界值。
例
行参变分离，其目的在于若含 x 的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，
所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作
图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7 函数的图像）
3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根
x2
）
A． 4
B．6
C．8
D．10
思路：由 f x 为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当
x 0, 2 时，可以利用 y 2x 利用图像变换作出图像，
x 2 时， f x 1 f x 2 ，即自变量差 2 个单位，函
2
数值折半，进而可作出 2, 4，4,6 ，……的图像， g x
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关
（2）方程的根：
工具：方程的等价变形
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可
对方程进行变形，构造出便于分析的函数
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判
即
m
0 2
或
g
2
0
，解得：
m
2
2 或1
3 m 1
3
（2）若方程有两解，则
g
0
2
0
，解得：
2 m
2 1
m2 3,m
2 1
3 1
3m2
2，
m 2
m 2
综上所述：1 3 m 2 2
答案：A
小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将 2x 2x 视
- 6 - / 18
有两个相异实根，则实数 a 的取值范围是_________
思路：方程等价于： x2 2x 2ln x 1 x2 x a a x 2ln x 1 ，即函数 y a 与 g x x 2ln x 1 的图像恰有两个交点，分析 g x 的单调性并作出草图：g' x 1 2 x 1
x
ax
有三个不同零点 y f x 与 y ax 有三
个不同交点，如图所示，可得直线 y ax 应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln 3 a 1
9
3e
答案：B 小炼有话说：本题有以下两个亮点。
（1）如何利用
f
x
f
x 3
，已知
x 1,3,
f
x 的解析式求 x 3,9,
f
x
的解析式。
lnx x
0，无法直接求出根，构造函数
f
x ln x x ，由
f
1 0,
f
1 2
0
即可判定
- 1 - / 18
其零点必在
1 2
,1
中
2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用
（1）函数的零点：
工具：零点存在性定理
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于 2x 2x 的二次方程，将问题转化为二次方程根
分布问题，进行求解。
例 7 ： 已 知 函 数 y f x 的 图 像 为 R 上 的 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 当 x 0 时 ，
f ' x f x 0 ，则关于 x 的函数 g x f x 1 的零点的个数为（
分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）个类型常要用到函数
零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像
解决问题的。
三、例题精析：
例 1：直线 y a 与函数 y x3 3x 的图象有三个相异的交点，则 a 的取值范围为 ( )．
A． 2,2
）
x
x
A．0
B．1
C．2
D．0 或 2
思路： f ' x f x 0 xf ' x f x 0 xf x' 0 ，结合 g x 的零点个数即
x
x
x
为 方 程 f x 1 0 ， 结 合 条 件 中 的 不 等 式 ， 可 将 方 程 化 为 xf x 1 0 ， 可 设
例 6：对于函数 f x ，若在定义域内存．在．实数 x，满足 f x f x ，称 f x 为“局部