成谐波关系的复指数信号集: k(t){ejk0t}
其中每个信号都是以 2 为周期的，它们的
公共周期为
，2 0且该集k 合0 中所有的信号都
是彼此独立的。
如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，
有
x(t)
ake jk0t
k
2
显然 x (也t ) 是以 为 周0 期的。该级数就是傅
里叶级数， 为a傅k 立叶级数的系数。
k
对两边同时在一个周期内积分，有
0 T 0x(t)ejn 0 td ta k
T 0ej(k n)0 td t
0
k
T0 0
x(t)ejn0tdtanT0
在即确a定n此积T10分0时T0 x，(t只)e要jn积0t分dt区间是一个周期
即可，对积分区间的起止并无特别要求，因
此可表示为
1
a0 T
• “非周期信号都可以用正弦信号的加 权积分来 表示”——傅里叶的第二 个主要论点
结论：
• 复指数函数 e 、s t z 是n 一切LTI系统的特征函
数。 、H ( s ) 分别H 是( z )LTI系统与复指数信号
相对应的特征值。
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
k
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
即： x(t) akeskt
k
同理：x(n) akZkn
y(t) akH (sk)eskt
k
y(n) akH(Zk)Zkn
k
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数
信号的线性组合来表示？
一组成谐波关系的周期复指数信号集:
1、连续时间情况
定义：由周期复指数信号组成的集合，
该集合内的全部信号都是周期的，且
在该信号中，有四个谐波分量，即 k1,3, 时对应的谐波分量。
傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按 傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分 量的线性组合。
二.连续时间傅里叶级数的系数确定
如果周期信号 x ( t可) 以表示为傅里叶级数
x(t)
akejk0t
则有
k
x(t)ejn0t
aej(kn)0t k
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期
信号，即: 连续时间周期信号可以分解成无数
多个复指数谐波分量。
例1： x(t)cos0t
1ej0t 1ej0t
2
2
显然该信号中，有两个谐波分量，a 1
1 2
为相应分量的加权因子。
例2：x(t)co s 0 t2co s3 0 t
1[ej0tej0t]ej30tej30t 2
有一个公共周期 T 0
对一个复指数信号 e ，j t要成为具有周期
为 的T 周0 期信号的必要条件：
ejT0 ，1即
2k
T0
T 02 k(k0 , 1 , 2 )
I即f 定一义组成谐0 波，2T关0 则系的复指数信k号0 的集合就 是一组其基波频率是某一正频率 0的整
数倍的周期复指数信号。记为：
傅里叶生平
1768—1830
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任 何周期信号都可以 用正弦函数的级数 来表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表 “热的分析理论”
• 1829年狄里赫利 第一个给出收敛条 件
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系 的正弦信号的加权和”——傅里叶的 第一个主要论点
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过 许多人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还 有人为之献出了生命。 历史的经验告诉我 们, 要想在科学的领域有所建树，必须倾心 尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立 叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程， 刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人 认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
x(t)dt
第3章 周期信号的傅里 叶级数表示
第3F章our周ier期SP信eerri号eiosd的Ric傅epSr里iegsn叶eanlt级sat数ion表o示f
Fourier Series Representation of Periodic Signals
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质
将其表示为下列形式：
x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
x[n]a1z1na2z2na3z3n
利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H(s1)es1t es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t 所以有
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
3.0 引言 Introduction
• 时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 2)LTI系统满足线性、时不变性。
• 从分解信号的角度出发，基本信号单元必 须满足两个要求：
1.本身简单，LTI系统响应能简便得到。 2.具普遍性，能用以构成广泛的信号。
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
y(t) x(t)h(t) x(t )h()d
es(t)h()d est h()esd
estH(s)
对LTI系统如果系统输出 可表示为输入乘以一系数， 这时的输入称为系统的特征 函数。该系数就是相应特征
征函数。
对时域的任何一个信号 x ( t或) x,(若n )能
k(t) ejk0t , k0,1,2
各次谐波的周期分别为
共周期是
。T 0
2 0
Tk
，2 它们的公 k 0
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
一. 连续时间傅里叶级数
设离散时间系统的单位脉冲相应是
h[n], 它对复指数信号x[n]=zn 的响应可
按前述卷积和来就求得：
y[n] x[n]h[n] x[n k]h[k] k
znkh[k] zn zkh[k]
k
k
znH[z]
类似地，若设连续时间系统的单位脉
冲相应是h(t), 它对复指数信号 x(t)=est 的响应可按卷积积分来就求得：