通信系统综合设计与实践题目基于MATLAB的低通滤波器设计院（系）名称信院通信系专业名称通信工程学生姓名学生学号指导教师2013 年 5 月25 日摘要 (2)1．巴特沃斯低通数字滤波器简介 (3)1.1 选择巴特沃斯低通滤波器及双线性变换法的原因 (4)1.2 巴特沃斯低通滤波器的基本原理 (4)1.2.1 巴特沃斯低通滤波器的基本原理 (4)1.2.2 双线性变换法的原理......... . (5)1.3 数字滤波器设计流程图......... .. (7)1.4 数字滤波器的设计步骤.......... . (7)2. 巴特沃斯低通数字滤波器技术指标的设置 (8)3. .................................................................................................................. 用matlab 实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真并分析 .. (9)3.1 用matlab 实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真 (9)3.2 波形图分析......... ........ (10)4. .................................................................................................................. 用Simulink 实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真并分析 (11)4.1 Simulink 简介........ ....... .. (11)4.2 用Simulink 实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真 (11)4.3 波形图分析........ ........ . (11)4.3.1 Simulink 波形图分析........... ............ .. 114.3.2 与matlab 波形的比较........ . (14)5. 总结与体会 ................. . (15)6. 附录 (16)摘要低通滤波器是让规定频率以下的信号分量通过，而对该频率以上的信号分量抑制的电容、电感与电阻等器件的组合装置。

巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种，特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。

可以构成低通、高通、带通和带阻四种组态，是目前最为流行的一类数字滤波器, 经过离散化可以作为数字巴特沃思滤波器较模拟滤波器具有精度高、稳定、灵活、不要求阻抗匹配等众多优点因而在自动控制、语音、图像、通信、雷达等众多领域得到了广泛的应用，是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器。

本文将介绍其中最常用的一种——巴特沃斯低通数字滤波器。

本文侧重于理论分析、matlab 编程和结果分析。

（1）本文将先概述巴特沃斯低通数字滤波器的工作原理和特点。

（2）设置技术指标;（3）用matlab 进行软件编程，将仿真波形与理论值进行比较，分析其中的异同，并通过一个输入波形来验证设计的巴特沃斯低通数字滤波器的准确性。

（4）对实验结果和理论结果进行比较，分析它们的异同点并进行总体分析。

（5）用Simulink 进行硬件电路仿真，观察仿真结果，并通过一个输入波形来验证仿真效果。

（6）通过对用Matlab 软件仿真和Simulink 硬件仿真的比较，说明两者的优缺点（7）对实验结果进行最后的总结，写出自己的感想。

关键字：matlab 低通滤波器巴特沃斯1. 巴特沃斯低通数字滤波器简介1.1 选择巴特沃斯低通滤波器及双线性变换法的原因（1）由于低通滤波器是组成其它滤波器的基础，故选用低通滤波器；（2）在当今社会，数字信号的应用越来越广泛，故选用数字信号；（3）巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑并且应用范围最广，故选巴特沃斯型滤波器；（4）为了不使数字滤波器在ω = 附近产生频谱混叠，故选用双线性变换法。

1.2 巴特沃思低通滤波器的基本原理：1.2.1 巴特沃思低通滤波器的基本原理：巴特沃斯低通数字滤波器的幅度平方函数H（a j ）2用下式表示11 ( )2Nc式中，N称为滤波器的阶数。

当=0时，H（a j ）1；c时，H（a j ）1/ 2 ，c是3dB截止频率。

在c附近，随加大，幅度迅速下降。

幅度特性与与N的关系如图1.1 所示。

幅度下降的速度与阶数N 有关，N 愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快，总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。

图1.2 三阶巴特沃斯滤波器极点幅度特性与与N的关系分布图以ｓ替换j ，将幅度平方函数H（a j ）2写成ｓ的函数s 2N1 ( )2Njc复变量 s j ，此式表示幅度平方函数有2N 个极点，极点s k 用下式表示：H a(j ) 2H a(s) H a( s)图1.1 巴特沃斯低通数字滤波器1 s k ( 1)2N(j c ) 1 2k 12 2N k =0,1,2,3 ⋯. )2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上(该圆称为巴特沃斯圆) ，间隔为/N rad 。

例如 N=3, 极点间隔为 /3rad ，如图 1.2 所示。

为形成因果稳定的滤波器， 2N 个极点中只取ｓ平面左半平面的的 N 个极点构成NHa(s), 而右半平面的的 N 个极点构成 Ha(-s),Ha ( s )的表达式为 Ha(s) N 1 c (s s k ) k0为使设计公式和图表统一，将频率归一化。

巴特沃斯低通数字滤波器采用对 3dB 截止频率 c 归一化，归一化后的系统函数为Ha( s) c1 N -1s s k( - k ) k 0 c c令pj , / c, 称为归一化频率， p 称为归一化复变量，这样，巴特 沃斯低通原型系统函数为(p- p k )k01.2.2 双线性变换法原理 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种 变换方法。

为了克服多值映射的缺点，采用把整个 s 平面频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 - π/T ～π /T 之间，再用 Z e sT 转换到 Z 平面上。

也 就是说，第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步 再通过标准变换关系 Z e sT 将此横带变换到整个 Z 平面上去。

这样就使 S 平面与 Z 平面 建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。

映射关系 如图 1.3 所示。

^设 Ha (s ), s j , 经过非线性频率压缩后用 H a (s 1)，s 1 j 1表示，这里用正切变换 实现频率压缩：Ga(p)1N-1图 1.3 双线性变换的映射关系式中，T 为采样间隔，当 1从-π/T 经过 0变化到π /T 时， 由-∞经过 0变化到+ ∞，实现了 s 平面上整个虚轴完全压缩到 s 1 平面上虚轴的 +π/T 之间的转换。

即代入 s j , s 1 j 1, 得到再通过 z e s1T从 s 1平面转换到 z 平面，得到2sT 2sT上式是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因 此称为双线性变换。

双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现 象，虽然在线性方面有些欠缺，但是可以通过频率的预畸来加以校正且计算比冲激响应 不变法方便，实现起来比较容易，所以，本设计选择用双线性变换法设计巴特沃斯低通21 1 z s T1 1 z 2 ej 1T/2ej1tT /2ej 1T /2 ej 1T /221 ej1TT 1 e j 1T21 s 1T T1s 1T21T tan(2 1T )滤波器。

1.3 数字滤波器设计流程图1.4 数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤：根据数字滤波器的技术指标先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha（s）, 然后将Ha（s）按某种方法（本实验采用双线性变换法）转换成数字滤波器的系统函数H（z）。

具体为：（1）确定巴特沃斯数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率ωp, 阻带截止频率ω s,通带最大衰减а p, 阻带最小衰减а s 。

（2）将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。

这里指ω p 和ωs 的变换而аp和аs 保持不变。

本题采用双线性变换法，其转换公式为：tan TtanT23）根据技术指标Ω p、Ω s、ωp 和ω s 用下面公式求出滤波器的阶数。

4）根据 N 由表 1.4 求出归一化极点 p k 和归一化低通原型系统函数 Ga （p ）Ha(s)G(p) spc这里Ωc 为 3dB 截止频率6）用双线性变换法将模拟滤波器 Ha （s ）转换成数字低通滤波器系统函数 H （z ） 。

转换公式为：2 1 zH(z) Ha(s) s=T 2 11 zz 1表 1.4 巴特沃斯归一化低通滤波器参数sspk 10 s /10 1ksp10p /10 1lkg spg sp5）将 Ga （ p ）去归一化，将 p代入 Ga （ p ），得到实际的滤波器系统函数：2. 巴特沃斯低通数字滤波器技术指标的设置数字低通技术指标为ω p=30Hz, α p=1dBω s=60Hz α s=30dB采样频率为fs=500 设计要求：输入x=sin(2* π*20*t)+2*sin(2* π*100*t)+5*sin(2* π*200*t) 合成信号，经过滤波器后滤除30Hz以上的分量，即只保留sin(2* π *20*t) 分量信号，来验证设计的滤波器是否达到了设计要求。

设计目的：(1) 理解低通滤波器的过滤方法。

(2) 进一步熟悉低通滤波器的基本应用。

(3) 用仿真工具matlab 和Simulink 分别对设计的滤波器进行软件和硬件仿真。

(6) 将对仿真结果进行比较，从而检验滤波器滤波性能的准确性。

3. 用matlab 实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真并分析3.1 用matlab 实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真Matlab 程序如下：fs=500;t=0:1/fs:1;x=sin(2*pi*20*t)+2*sin(2*pi*100*t)+5*sin(2*pi*200*t);wp=2*30/fs;ws=2*60/fs;Rp=1;As=30;subplot(311);plot(t,x);title( ' 输入信号 ' );[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As);[B,A]=butter(N,wc);[H,W]=freqz(B,A);y=filter(B,A,x);subplot(312);plot(W,abs(H));title( ' 低通滤波器 ' );subplot(313);plot(t,y)title( '30Hz' ); 用 matlab 滤波前后的信号波形变化如图 3.1 所示：图 3.1 用 matlab 滤波前后的信号波形变化0 0.2 0.4 0.6 0.8 130Hz3.2 波形图分析：由技术指标得：设计的巴特沃斯低通数字滤波器为30Hz 以内的信号能通过，而高于30Hz 的信号将通不过滤波器。