f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
在复平面上取极坐标，则
z (cos i sin ) ei（尤拉公式，证明见第三章）
2)实变函数导数：比值的左、右极限存在且相等; 复变函数导数：比值极限应与△z→0的方式无关，或△z沿 一切可能方式→0的极限都存在且相等。
显然复变函数导数存在的条件比实变函数严格的多。
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
15
2 Cauchy-Riemann条件
2.1 C-R条件— f(z)可导的必要条件
无限多值，除0、∞外都有对数.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
13
复习
1.C-R条件，复变函数f(z)可导的充要条件？
2.实变二元函数v(x,y)全微分？
3.实变函数积分与路径无关的条件？
4.多元函数偏导数的定义？
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
14
1.2导数
f(z)在z单值连续，lim
乘除: 利用 i2 1， z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
z z x2 y2 z 2 z2 z2
z1 z2
z1 z2 z2 2
采用指数形式更方便
z1 z 2
e , i(12 ) 12
z1 z2
e 1 i(12 ) 2
乘方开方: z n nein
第一章
复变函数和解析函数
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
1
简介
基本内容： 基本应用：
复数、复变函数、解析函数、解析 的充要条件、解析函数的几何意义 及物理解释. C-R条件的应用
重
点：
解析函数（是本章的重点，也是 本篇的重点）
难 点： 已知解析函数的实部（或虚部）求 该解析函数（加强训练）
n
z
n
i
e n
n
ei
1 n
(0
2
k
)
(k=0,1,2，…，n-1)是n值函数.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
7
2 无穷远点
复数球 测地投影：一一对应 无限远是一点： 复平面上的∞与北极N对应 复数0和∞的幅角无意义.
复数列 zn xn iyn
(n=1,2，…)的极限问题
复平面上点列(xn , yn )
12
3)初等函数： 名称、形式与实初等函数相同，但其性质却有不同,如：
ez ezi2 纯虚周期2i
sin z eiz eiz 2i
， cos z eiz eiz 2
sin z , cos z 无界，如 cos z e ziyi y e y
2
ln z ln(ei ) ln i(0 2n ) (0 0 2 )
f (z z) f (z)
存在，
z0
z
则称f(z)在z可导，该极限称为f(z)在z点的导数，记作
df f (z) lim f (z z) f (z)
dz
Z 0
z
1)定义形式与实变函数的导数同
实变函数的求导法则及实初等函数的导数 公式均适用于复变函数的导数,例
(c1 cos z c2 z 2 ) c1 sin z 2c2 z
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
2
§1.1复数的基本概念
❖ 1 复数及其代数运算 ❖ 2 无穷远点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
3
i 1
1 复数及其代数运算
❖ 复数z=x+iy
❖ 实部Rez=x 虚部Imz=y
i 1 i2 1
❖ 虚数单位
（或
）
❖ 1.1代数式 z x iy
模 z x2 y2
幅角
arg z arctg y
x
，具有不唯一性
取0(0 0 2 )为 arg z 的主值，则
0 2n
（多值函数的多值性与幅角的不唯一性有密切关系）
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
6
1.4代数运算 加减:实、虚部分别相加减 z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(n=1,2，…)的极限问题.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
8
§1.2复变函数及其导数 CauchyRiemann条件(P3)
❖ 1 复变函数及其导数
❖ 2 Cauchy-Riemann条件
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
9
1 复变函数及其导数
1.1复变函数 1)区域的概念（P7§1.3）
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
17

2.2 f(z)可导的充要条件 ux , u y , vx , vy 存在、连续且满足C-R条件(证明：详见P6).
z z0
x0
x
u i v x x
z iy,
lim
z0
f z
lim u(x, y y) iv(x,
iy0
y y) u(x, y) iv(x, y) iy
1[u i v ] i y y
二者相等 C-R条件
类似在极坐标系中
沿径向不变z
沿横向不变z
ei iei
二比值极限相等 C-R条件.