2015-1-19
7
2015-1-19
• 莱昂哈德· 保罗· 欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数学 家和物理学家，近代数学先驱之 一，他一生大部分时间在俄罗斯 帝国和普鲁士度过。 • 欧拉在数学的多个领域，包 括微积分和图论都做出过重大发 现。他引进的许多数学术语和书 写格式，例如函数的记法"f(x)"， 一直沿用至今。此外，他还在力 学、光学和天文学等学科有突出 的贡献。 • 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国数 学家皮埃尔-西蒙· 拉普拉斯曾这 样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 8 上，他都是我们的大师”
2015-1-19
两个复数相乘等于它们的 模相乘，幅角相加
17
除法
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i 2 2 z2 x2 iy2 x 2 y2 x22 y22
x
2
iy2 0
1 exp[i(1 2 )] 2
z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
=(x1± x2) +i(y1± y2 )
乘法
z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ) 1 2 exp[i(1 2 )]
2015-1-19
x2 y2.
19
注意:
z 2 ( x 2 y 2 ) i 2 xy
共轭复数的性质:
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
( 2) z z;
(3) z z Re( z ) Im( z ) x 2 y 2 ;
x 3x 1
3
令 x u u
1 3
1 3
代入上述方程有： u 2 u 1 0 其根为 从而
x e
2015-1-19
i 3
1 3
u
i 3 1 3
1 2
1 i 3 e
i 9
i 3
e e e 2cos
y 如图： 复矢量的长度OP称为复数的模 或绝对值
z = ρ= x2 + y2 .
y
P(x,y)
z

o
x
x
显然由复数的复平面表示，有下列各式成立
x z,
y z,
z x y.
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量 oP 为终边的角的弧度数 称为 z 的幅角, 记作 arg z .
e 2 iz 1 e 2 iz e 2ni z n.
(n 0, 1, 2, )
2015-1-19
24
e e , 称为双曲正弦函数 . 定义 shz 2 z z e e chz , 称为双曲余弦函数 . 2 有理整函数(多项式) w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
n次幂 n次根幂
z e
n
n n
i

i
n
e
n in
z e n eΒιβλιοθήκη i n eni

n
0 2 k
, k 0,1, 2,
, n 1
18
2015-1-19
逼近
z z0 x x0 , y y0
共轭 共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相 反的两个复数称为共轭复数.
实的正、 余弦函 数
2015-1-19
23
sin z tan z 称为正切函数 . cos z cos z 余切函数 cot z , sin z 1 正割函数 secz , cos z 1 余割函数 csc z . sin z 例1.3 解方程 sin z 0
解
e iz e iz e 2 iz 1 sin z 0 iz 2i 2ie
1.0问题的提出
负数有对数吗？
d( x) dx ln( x) ln x Bernoulli：负数的对数是实数 x x dx Leibniz ：不可能有负数的对数 x d ln x 只对正数成立
ln(-x)与ln(x)间存在联系吗？
Euler： 在1747年指出
ln( x), ln x 差一特殊的数 y 2 cos x 和
ln x
2015-1-19
z eiargz x xe i i 2 k

ln xe i 2 k
16
ln x ln e i i 2 k ln x i 2ik
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符) 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：
y e
1x
e
1x
是同一个微分方程的解，因此应该相等
1 1x 1x e e 2 1 sin x e 1x e 2 1 cos x
1743年，发表了Euler公式
Euler把 1 作为特 2015-1-19殊的数
答疑教室：钱伟长楼220室
2015-1-19 2
课程讲授计划
• • • • • • • • • • • 第一章 复变函数和解析函数（4） 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（4） 第三章 复变函数级数 泰勒维数和洛朗级数（6） 第五章 定积分的计算（2） 第七章 傅里叶变换（6） 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） 第九章 数学物理方程的定解问题（4） 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（8） 第十一章 积分变换法（4） 第十二章 球坐标下的分离变量法（6） 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（4）


1x


9
1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式 考虑解方程：
x 2 1。
显然，此方程在实数集中是无解的。 为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单位. 欧拉公式 对虚数单位的规定:
i 1 方程的解: x 11 i 1= i 2015-1-19
2015-1-19 14
y
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个幅角,
y
P(x,y)
z

0
如果0 是其中一个幅角,
o
x
x
那么 z 的全部幅角为
arg z 0 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z 0 时, z 0, 幅角不确定.
幅角主值的定义: 在z(≠0)的幅角中，把位于０< <2π的 称为 arg 0 z的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系
8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
2015-1-19 5
2015-1-19
6
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导
必要条件、掌握解析函数的概念、函数
解析的充要条件、复势的概念。 教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件； 教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
指数函数
ex
22
1 复变函数及其导数
(1)初等解析函数： 指数函数 这里的ex是实 指数函数
定义 设z x iy . z x 称e e (cos y i sin y )为z的指数函数 . 三角函数
定义
iz e e sin z , 称为正弦函数 . 2i iz iz e e cos z , 称为余弦函数 . 2 iz
3
2015-1-19
复变函数论（theory of complex functions）的目的：
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意 义。
2015-1-19
4
主要内容:
1 复变函数和解析函数
2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式
3 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数等
4 解析函数（自学） 5 定积分的计算 6 δ函数 其余拉普拉斯变换的内容（自学） 7 傅立叶变换和色散
2015-1-19
1
教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京 大学出版社，2002年7月 二、主要的参考书：
于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2007年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70%
联系方式：zyx@
i 9

9
1.88(m)
21
1.2 复变函数及其导数 柯西—黎曼条件
在实数域，我们已熟悉下列初等函数
ix e e , 称为正弦函数 . 三角函数 sin x 2i e ix e ix cos x , 称为余弦函数 . 2 sin x tan x 称为 正切函数 . cos x 双曲函数 x x e e shx , 称为双曲正弦函数 . 2 x x e e chx , 称为双曲余弦函数 . 2015-1-19 2 ix
i2=–1
1 ix ix cos x e e 2 1 ix ix sin x e e 2i