例如
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
下三角行列式 a ij 0 ( j i )
上三角行列式
a ij 0 ( j i )
用消元法解得 令
a11
a12
a21 a22
b1a22 b2 a12 a11b2 a21b1 x1 , x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21 a11a22 a12a21 . 称为二阶行列式
a12 a11 a22 a21 , x2 a12 a11 a22 a21 b1 b2 a12 a22
二、n阶行列式的定义
定义
设有 2个数，排成行n列的数表 n n
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
作出表中位于不同的行不同列的n个数的乘积，
( 1) t , 并冠以符号
得到形如
( 1) a1 j1 a2 j2 .......anjn的项，
t
t 1） 1 j1 a2 j2 ....... nj n （ a a
2）副对角行列式
0 0 0 0 0
1
0 0
2

(1)
n ( n 1 ) 2
12 n
n
证： 记 i ai，n i 1 依行列式的定义
0 0 0 1 0 2 0 0 0
排列只有一个自然排列12……n, 所以D不可能为
t 零的项只有一项 （ 1） 11a22 ann 此时t=0 a
所以D a11a22 ann
4）上三角行列式
D
a11 0 0
a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
a11a22 ann
分析：
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn .
定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列,
逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如 ： 排列312的逆序数为2，故它是偶排列。
特 点：
1）二阶行列式有2！=2项，
三阶行列式有3！=6项。
2）每项都是分别来自不同的行，不同的 列之元素的乘积。
3）当每项第一个下标按自然排列时，该项
前面正负号取决于第二个下标排列的奇偶性。
b1 b2 则x1 a11 a21
同理引进三阶行列式
a11 a12 a13
D=
a21 a22 a31 a32
三元线性方程组
的解为： b1 a12 a13 x1 b2 a22 a23 b3 a32 a33 D
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
注 意：
n阶行列式还可以定义为 D
i1i2in
(1) ai 1ai 2 ai n
t
1 2 n
其中 (i1i2 in ), t
i1排列，
式中把列标排成一个自然排列．
三、几种特殊的行列式
1
0
1）主对角行列式 证： 记 i aii
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 0 ann a11a22 ann .
线性代数
电子课件
董秋仙 主讲
行列式
矩 阵
向量 空间
线性 代数
线性方程组
相似变换及其二次型
第一章 行列式
• • • • n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则
第一节、行列式的概念
二阶和三阶行列式
n阶行列式的定义 几种特殊的行列式
一、二阶和三阶行列式
二阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 设二元线性方程组 a x a x b 21 1 22 2 2
其中 j1 j2 .......jn为 12......n的某一个排列，
t为该排列的逆序数。
这样的排列共有n!个，因而形如上式共有n!项，
t （ 1） 1 j1 a2 j2 ....... nj n a a 所有这n!项的代数和
称为n阶行列式．记为：
a11 a 21 D a n1 a12 a 22 a1n a2n
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . a
33
a11 b1 a13 , x2 a21 b2 a23 a31 b3 a33 D , x3
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 D
t （ 1） 1 j1 a2 j2 .......anj n 1） 12 n a （ t
n
t为 排 列 ( n 1) 21 逆 序 数 ， n 的 n( n 1) 所 以t 0 1 2 ( n 1) 2
a11
0 a 22

一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。
以后用 ( j1 j2 .......jn )表示排列j1 j2 .......jn的逆序数
例如 排列312有2个逆序，即31；32
所 以 ( 312) 2
方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之 和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序 数之总和即为所求排列的逆序数. 求排列32514的逆序数.
简记为 det( aij ).
a n 2 a nn
数aij 称为行列式 aij )的元素， det(
特别：当n=1时，一阶行列式 不要与绝对值符号相混淆。
a a
当n =2、3时，与前面定义的二、三阶行列
式一致。
行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义 的;
小结
D
行列式的定义
j1 j2 jn
(1) a
t
1 j1
a2 j2 ....... njn a
D
i1i2in
( 1)t ai1 1ai2 2 ainn
主对角行列式 a ij 0 (i j)
副对角行列式 a ij 0 ( j n i 1)
几个特殊的行列式
0 0
3）下三角行列式 D
a 21 a n1
a11a22 ann
a n 2 a nn
证： 由于当 j i 时，aij 0,故D中可能不为0的元素
aipi ,其下标应有 pi i ,即p1 1, p2 2, pn n.
在所有排列 p1 p2 pn中， 能满足上述关系的
定义
把n个不同元素排成一列称为这n个元素
的全排列。(简称排列） 用Pn表示所有排列的种数。 注意： 不失一般性，我们将 n 个元素看成 n 个自然数，
称在 n! 种排列中从小到大次序的那个排列为自然排列
（或标准排列）.
即12n为 自 然 排 列
定义
在一个排列中,如果一个大的数排在小的 数之前,就称这两个数构成一个逆序。
1
则 0 0 0
0 0
2
0
0 0 n
12 n
2
0

0 n 0
0 0
a11
0

0 0
a 22 0
a nn
当a1 j1 0时，j1 1,即a1 j1 1 同理： 2 j 2 anj n a 2 n t为排列 12345 n的逆序数，所以 0 ..... t