第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2.二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是( C )A .k ≠-1B .k ≠3C .k ≠-1且k ≠3D .k ≠-1或≠3 3.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=( B )+n (m+n )4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式( A ) A.32D.38 5.下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C . 100003010- D . 261422613-6.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =( B )A .-2B .-1C .1D .28.如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =( B )9.(考研题)行列式0000000ab a bcd c d=( B )A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中(3,2)元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ,则5A 14+A 24+A 44=_______。
解答:5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4.已知行列式011103212=-a ,则数a =____3______.5.若a ,b 是实数,则当a =___且b =___时,有=---10100a b b a 0。
解答:0)(1010022=+-=--=---b a ab ba ab b a a =0, b =06. 设13124321322)(+--+-+=x x x x f ,则2x 的系数为 23 。
7. 五阶行列式=6200357020381002300031000___________。
解答:423212331)1(620035702038100230003100032=⨯⨯-=⨯8. (考研题)多项式211111)(321321321321+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零点为 01=x ,12-=x ,23-=x 。
9、(考研题)设xdc bd xcb dc xb dc bx x f =)(,则方程0)(=x f 的根为=x 。
【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式,故方程0)(=x f 应有四根,利用行列式的性质知,当d c b x ,,=时,分别会出现两行相等的情况,所以行列式为零,故d c b x ,,=是方程的三个根。
再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为d c b x +++,所以当)(d c b x ++-=时,满足0)(=x f ,所以得方程的第四根)(d c b x ++-=。
故方程的四个根分别是:)(,,,d c b d c b ++-。
二、计算题1、计算0001000200020120002013000002014D =。
【分析】方法一:此行列式刚好只有n 个非零元素nn n n n a a a a ,,,,112211--- ,故非零项只有一项:nn n n n t a a a a 112211)1(---- ,其中2)2)(1(--=n n t ,因此 (20141)(20142)2(1)2014!2014!D --=-=方法二:按行列展开的方法也行。
2、计算行列式 3214214314324321=D 。
分析:如果行列式的各行(列)数的和相同时,一般首先采用的是将各列(行)加到第一列(行),提取第一列(行)的公因子(简称列(行)加法).解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ,于是,各行加到第一行,得===321421431432101010103214214314324321D 10111123413412412311110121101210321-=-----1604004001210111110=---=3.计算n 222232222222221的值。
解: 2020012000200021222232222222221--=n n202012002--=n=)!2(2--n4、计算5阶行列式:40030807009000605020001+++++++++=a a a a a a a a a D 的值。
【分析】 仿照上题的思路。
1256(9)78341234(9)56781256(9)4(9)3478a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++=+++++++++=+=+++++5、计算行列式11111111139271248----的值。
分析 经过仔细观察会发现,这个行列式是个4阶范德蒙行列式的转置,所以利用范德蒙行列式的结论就可轻松算出行列式的值为240。
6、行列式4100034100034100034100034= 。
分析 对于此类三对角行列式,一般采用的是递推法。
按第一列展开,有34412534410341034344100341003410003)1(41003410034100344D D D D -=⨯-=⨯-+⨯=+故有5312323234453)4316(3)(3)(3)(3=--=-=-=-=-D D D D D D D D于是36433333]3)3[(3)3(3543215432543545=++++=+++=++=+=D D D D D7.求行列式1111111111111111--+---+---x x x x 的值。
【分析】 利用行列式的性质,将第2,3,4列加到第1列上得4000000000111111111111111111111111111111111111111111111111x xx x xx x xxx xx x xx x x xx x x x xx x x x x x =---=-----=-----+---=-----+---=--+---+---8、计算n 阶行列式abbbbb a b b b b b a b b bbbabb b b b a D n=。
【分析】 行列式特点是各列(各行)元素之和都是b n a )1(-+,故可把各行(各列)元素均加至第一行,提出公因子b n a )1(-+,然后各行再减去第一行:abbbbb a b b b b b a b b b b b a bbn a b n a b n a b n a b n a D n)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-+=ba ba b a b a b n a abb bbb a b b b b b a b b b b b a bb n a -----+=-+=000000000000011111])1([11111])1([1)]()1([---+=n b a b n a9.计算行列式nn a a a D +++=11111111121,其中021≠n a a a【分析】 方法一:利用行列式性质,将原行列式化为上三角行列式。
)11(000011110011112121111211∑∑==+=++=--+=ni in nni inn a a a a a a a a a a a a a a D方法二:利用加边的方法1112211121211111111011110001111000111110111110001(1)0000n nnni inn i ina a D a a a a a a a a a a a a +==+-=+=-+-+==+∑∑10.计算行列式444422221111d c b a dcbad c b a D =的值。
【分析】 利用范作范德蒙行列式444443333322222111111x d c b a x d c b a x d c b a xd c b aD =,则行列式D 就是行列式1D 元素3x 的余子式45M ,即45M D =又))()()()()()()()()((1a b b c a c c d b d a d d x c x b x a x D ----------=此式3x 的系数是))()()()()()((a b b c a c c d b d a d d c b a ------+++-也为1D 中元素3x 的代数余子式45A ,因为4545A M -=所以,))()()()()()((111144442222a b b c a c c d b d a d d c b a d c b a dcbad c b a D ------+++==。