如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系.在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……….a n1 a n2…a nn如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2…a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:nnjjjaaa2121,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:2323215634,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.则项nnjjjaaa2121所乘的是.)1()(21njj jτ-即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。

至此我们可以写出n阶行列式的值:a11 a12 (1)a21 a22…a2n =.)1(21212121)(nnnnjjjjj jjj jaaaτ-∑………a n1 a n2…a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.对角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。

关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-4、代数余子式把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.5、化零降阶法化零降阶法 用行列式的性质把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式；或者直接把行列式化成三角行列式， 化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 6、行列式的性质① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |. ③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 如果在行列式某一行、列的元素，加上另一行、列对应元素的K 倍，则行列式的值不变。

⑦某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 7.范德蒙行列式：形如1 1 1 … 1 a 1 a2 a3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-I 的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏<因此范德蒙行列式不等于0 a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.8、克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0，则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值。

说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值，因此法则的主要意义在理论上，用在对解的唯一性的判断。

法则的改进:系数行列式不等于0是非齐次线性方程组有唯一解的充要条件. 用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |0，或者表述为：如果齐次方程组有非0解，则它的系数行列式|A |=0。

第四章可证明：|A |=0是齐次方程组有非0解的充要条件。

例 题一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解：a 12a 21a 33a 44中列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为 2. 写出四阶行列式中含有因子2311,a a 的项。

解：44322311a a a a -或42342311a a a a 3. 在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解：15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”.4. 在函数xx x x x x f 21112)(---=中, x 3的系数是______.解: x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--,所以x 3前的系数为2.5. 行列式45123213231213x xD x x x=-，4D 的展开式中，4x 的系数是 ，3x 的系数是。

解：利用行列式的性质，将含有变量x 的项移到主对角线上。

将行列式的第2、3行交换，得xxx x x D 31213123232154--=（第1行)51(-⨯加到第2列）5123181205552131213x x x x-=-- 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素乘积项，即44332211)1234()1(a a a a τ--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-⋅=)3()51(5x x x x 43153x x =-所以，4x ，3x 的系数分别是15，3-。

6. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---a b ba.解：0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a . 所以a = b = 0.7. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解: nn nnn n a a a a a a a a a22112122211100=8. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式=-121332A A A A ______.解:=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A二．计算证明题1.计算以下行列式的值2. 设a ，b ，c 是互异的实数，证明：333111c b a c b a=0的充要条件是0=++c b a 解：()()()()()()()()()()()0001112233333333=++---=--+--=-----=----c b a b c a c a b ab b ac c a c a b a b a c a c a b ac a b a c ab因为a ，b ，c 是互异的实数，所以0=++c b a 。

3. 设).(',62321)(232x F xx x xxxx F 求= 解：x x x x x x x F 620321)(232==xx x x x x 3103211222=xx xx x x 310201222=xx x x x 3102101222=()()311222312x x x x =--+ 所以 26)('x x F =4. 计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ³ 2).n x x x n x x x nx x x D n n n n ++++++=222222111+n x x nx x nx x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x nx x x x n n nn++++++ 33322221111+n x x x nx x x n x x x n n n ++++++ 323232222111+nx x x n x x x nx x x n n n++++++313131222111+nx x nx x nx x n n ++++++ 3213213212211=－nx x x n x x x nx x x n n n ++++++ 313131222111=－nx x x n x x x nx x x n n n +++ 111222111－nx x nx x nx x n n +++ 3131312211= 0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++5.设4322321143113151||-=A 计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ?, 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解：6320111262061601260315111113211431131511=----=--=-=A6.已知4521011130112101--=A 试求：（1）42322212A A A A -+-=（2）44434241A A A A +++= 解：（1）42322212A A A A -+-=0（2）解 ：16107105111102010*********111011130112101-=----=--=--=A 根据第5、6题可以总结：代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0 ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A7.试证: 如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组00010=++nn x C x C C01110=++nn x C x C C…………010=++nn n n x C x C C系数行列式为x 0, x 1, …, x n 的范德蒙行列式, 不为0. 所以010====n C C C()i j j i nnn nnnn n nnn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A -∏=→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=<2112102122102101111111因为x 的值各不相同，所以0≠A ，0≠A ⇔齐次线性方程组只有0解。