2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)本试卷满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝5，则{a n}的前5项和S5＝()A．7 B．15 C．20 D．25A．若q则p B．若p则qC．若q则p D．若p则q2．不等式121xx-≤+的解集为()A．(12-，1] B．[12-，1]C．(－∞，12-)∪[1，＋∞) D．(－∞，12-]∪[1，＋∞)3．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2 的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心4．8的展开式中常数项为()A．3516B．358C．354D．1055．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3 B．－1 C．1 D．36．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A B C．D．107．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件8．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)9．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1a，且长为a则a的取值范围是()A．(0B．(0C．(1D．(110．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－1x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为()A．3π4B．3π5C．4π7D．π2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝__________.12．n=__________.13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cos5A＝，5cos13B＝，b＝3，则c＝__________.14．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF|＜|BF|，则|AF|＝__________.15．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设f(x)＝a ln x＋1322xx+＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．17．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．18．设f(x)＝4cos(ωx－π6)sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间[3π2-，π2]上为增函数，求ω的最大值．19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．20．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 21．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0， (1)求证：{a n }是首项为1的等比数列； (2)若a 2＞－1，求证：S n ≤2n(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．1． B 152455()5()5(15)15222a a a a S +++====. 2． A 不等式可化为(1)(21)0,210,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解不等式组得12-＜x ≤1，故选A 项．3． C 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而02＋12＜2，所以点(0,1)在圆x 2＋y 2＝2内部，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2相交且直线不经过圆心，故选C 项．4．)B 二项式8的通项为8282188C 2C rr rr rr r T x----+⋅=，令8202r -=得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2－448C ＝358，故选B 项． 5． A 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan +tan 3tan(+)31tan tan 12αβαβαβ===-⋅-，故选A 项．6． B 由a ⊥c ，得a ·c ＝2x －4＝0，解得x ＝2.由b ∥c 得124y =-，解得y ＝－2，所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |B 项．7． D 若f (x )为[0,1]上的增函数，则f (x )在[－1,0]上为减函数，根据f (x )的周期为2可推出f (x )为[3,4]上的减函数；若f (x )为[3,4]上的减函数，则f (x )在[－1,0]上也为减函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数，故选D 项．8． D 由题图可得函数y ＝(1－x )f ′(x )的零点为－2,1,2，则当x ＜1时，1－x ＞0，此时在(－∞，－2)上f (x )＞0，f ′(x )＞0，在(－2,1)上f (x )＜0，f ′(x )＜0；当x ＞1时，1－x ＜0，此时在(1,2)上f (x )＞0，f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f (x )＜0，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，－2)为增函数，在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f (x )有极大值f (－2)，极小值f (2)，故选D 项．9．A 四面体如图1所示，设AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，AD =BC ＝a ，则a ＞0.当A ，B ，C ，D 四点共面时，BC 如图2所示)．而此时A ，B ，C ，D 四点不能构成四面体，所以BC <，故选A 项．图1 图210．D不等式(y－x)(y－1x)≥0可化为0,1y xyx-≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0,10.y xyx-≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图阴影部所示．由线1yx=，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D项．11．答案：4解析：(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.12．答案：2 5解析：n n→∞=＝112lim55n→∞+==.13．答案：145解析：由已知条件可得4sin5A＝，12sin13B＝，而sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理sin sinb cB C=得145c=.14．答案：56解析：F点坐标为(12，0)，设A，B两点的横坐标为x1，x2.因|AF|＜|BF|，故直线AB不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k (x －12)，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋24k ＝0 ①，则21222k x x k++=，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x －3)＝0.而|AF |＜|BF |，所以113x =，由抛物线的定义得115||26AF x =+=.15．答案：35解析：基本事件总数为66A 720=，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有3334A A 144=；第二类：有两节艺术课相邻有3221133223A C A C C 216=；第三类：三节艺术课相邻有133233C A A 72=.由古典概型概率公式得概率为1442167237205++=.16．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋1322x x +＋1，故213()22a f'x x x =-+. 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而13022a -+=，解得a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋1322x x +＋1(x ＞0)， 2222113321(31)(1)()2222x x x x f'x x x x x --+-=--+==.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，213x =-(因213x =-不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.17．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)． (1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()111211223()()P C P A P A B A P A B A B A ＝＋＋＝()111211223()()()()()()()()P A P A P B P A P A P B P A P B P A ++ ＝22121121111113()()3323323392727+⨯⨯+⨯⨯=++=. (2)ξ的所有可能值为1,2,3. 由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (1A B 1)＝12123323+⨯=， ()2211211222112122()()()()323329P P A B A P A B A B ξ==+=⨯⨯+⨯=，()2211222113()()()329P P A B A B ξ===⨯=.综上知，ξ有分布列从而，Eξ＝1×23＋2×29＋3×9＝9(次)．18．解：(1)f (x )＝ωx ＋12sin ωx )sinωx ＋cos2ωx＝ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωxωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f(x )的值域为[11．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上为增函数，故f (x )ωx ＋1(ω＞0)在每个闭区间[ππ4k ωω-，ππ4k ωω+](k ∈Z )上为增函数． 依题意知[3π2-，π2][ππ4k ωω-，ππ4k ωω+]对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是3ππ,24ππ.24ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得16ω≤，故ω的最大值为16.19．解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ．又CD ⊥AA 1.故CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD= (2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB互余，因此∠A 1AB 1＝∠A1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ．因此1111AA A B AD AA =，即AA 12＝AD ·A 1B 1＝8，得1AA =.从而1A D ==.所以，在Rt △A 1DD 1中，111111cos 3DD AA A DD A D A D ∠===.解法二：如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直．以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(00)，C1(0，h)，从而1AB＝(4,0，h)，1AC＝(2h)．由1AB⊥1AC，有8－h2＝0，h＝故1DA＝(－2,0,，1CC＝(0,0,，DC＝(00)．设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥DC，m⊥1DA，即111=0,2=0.x-+⎪⎩取z1＝1，得m＝0,1)．设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n⊥DC，n⊥1CC，即22=0,=0.⎪⎩取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝||||3⋅⋅m nm n.所以二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值为320．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为2222=1x ya b+(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得2cb=，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率cea==在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故12AB BS∆＝12·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝2c·b＝b2.由题设条件124AB BS∆＝得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，因此所求椭圆的标准方程为22=1204x y+.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，122165y y m ⋅=-+，又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)·(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝22222216(1)161664+16=555m m m m m m +----+++.由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0. 21． (1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1， 因a 2≠0，故a 1＝1，得221a a a =， 又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1， 两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1， 由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此221=n n a a a ++， 综上，12=n na a a +对所有n ∈N *成立．从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． 证法二：用数学归纳法证明12n n a a -=，n ∈N *.当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1， 所以结论成立．假设n ＝k 时，结论成立，即12=k k a a -，那么a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(a 2S k ＋a 1)－(a 2S k －1＋a 1)＝a 2(S k －S k －1)＝a 2a k ＝2k a .这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n ∈N *，12=n n a a -.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．(2)证法一：当n ＝1或2时，显然S n ＝2n(a 1＋a n )，等号成立． 设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0.由(1)知a 1＝1，12=n n a a -，所以要证的不等式化为1＋a 2＋22a ＋…＋12n a -≤2n(1＋12n a -)(n ≥3)，即证：1＋a 2＋22a ＋…＋2n a ≤12n +(1＋2n a )(n ≥2)．当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，21r a -与21n r a +-(r ＝1,2，…，n －1)同为负； 当a 2＞1时，21r a -与21n r a +-(r ＝1,2，…，n －1)同为正．因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(21r a -)(21n r a +-)＞0，即2r a ＋2n r a -＜1＋2n a (r ＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋22a ＋…＋12n a -)＜(n －1)(1＋2n a )， 由此得1＋a 2＋22a ＋…＋221(1+)2nn n a a +<．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤2n(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．证法二：当n ＝1或2时，显然S n ＝2n (a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n ＝2n (a 1＋a n )，等号也成立．当a 2≠1时，由(1)知2211nn a S a -=-，12n n a a -=.下证：12221(1+)12n n a na a --<-(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)． 当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为(n －2)2n a ＋na 2－12n na -＜n －2(n ≥3)．令f (a 2)＝(n －2)2n a ＋na 2－12n na -.当－1＜a 2＜0时，221>0n a --，故f (a 2)＝(n －2)2n a ＋na 2(1－22n a -)＜(n －2)|a 2|n ＜n －2， 即所要证的不等式成立．当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n [(n －2)12n a -－(n －1)22n a -＋1]＝n g(a 2)． 其中g(a 2)＝(n －2)12n a -－(n －1)22n a -＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)32n a -＜0，即g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)＞g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)＞0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．当a 2＞1时，令21b a =，则0＜b ＜1，由已证的结论知122211()1(1+())121n n a n a a --<-， 两边同乘以12n a -得所要证的不等式． 综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤2n(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．。