2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(北京卷)本试卷共150分．考试时长120分钟．第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝()A．(－∞，－1) B．{－1，2 3 -}C．(23-，3) D．(3，＋∞)2．在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为()A．(1,3) B．(3,1)C．(－1,3) D．(3，－1)3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．2 B．4 C．8 D．165．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD26．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18 C．12 D．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为________．10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若112a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n＝________．11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1cos 4B =-，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为________，DE DC ⋅的最大值为________．14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件：①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=．(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．图1图2(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600，当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．(求：s2＝1n［(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2］，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数)18．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx．(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1］上的最大值．19．已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S(m，n)，记r i(A)为A的第i行各数之和(1≤i≤m)，c j(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，…，|r m(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，…，|c n(A)|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)(2)设数表A ∈S (2,3)形如求k (A )的最大值；(3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，求k (A )的最大值．1．D 由题意得，A ＝{x |x ＞23-}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞)． 2．D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得：()22212π24π424P A -⨯⨯-==．3． B 由已知得，“a ＋b i 是纯虚数”“a ＝0”，但“a ＝0”“复数a ＋b i 是纯虚数”，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．4．C 初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0＜3，得S ＝1×20＝1，k ＝1； 第二次循环：由1＜3，得S ＝1×21＝2，k ＝2； 第三次循环：由2＜3，得S ＝2×22＝8，k ＝3． 经判断此时要跳出循环，因此输出的S 值为8． 5． A 由切割线定理得，CD 2＝CE ·CB ， 又在Rt △CAB 中，△ACD ∽△CBD ， ∴CD 2＝AD ·DB ，∴CE ·CB ＝AD ·DB ．6． B 先分成两类：(一)从0,2中选数字2，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C 412⨯＝； (二)从0,2中选数字0，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C 26⨯＝．故满足条件的奇数的总个数为12＋6＝18．7．B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1302⨯=+ 8．C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年的产量均为0，显然202S =为最小，在第3年～第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性，但在第9年之后，S n 的增速骤然降低．因为当n ＝9时，99S 的值为最大，故m 值为9． 9．答案：2解析：由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝9，进而求出圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离32d ==<，∴交点个数为2． 10．答案：121()4n n + 解析：由112a =，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝12，∴{a n }是一个以112a =为首项，以12为公差的等差数列．∴111(1)222n a n n ⨯＝＋－＝．∴a 2＝1，221111()()2444n n n S a a n n n n =+=+=+．11．答案：4解析：由余弦定理得，222224(7)1cos 222(7)4a cb b b B ac b +-+--===-⨯⨯-，解得b ＝4． 12．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0)，直线l 的方程为y ＝tan 60°(x －1)，即y =-联立得2 4. y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩①②由①得1x y =+，③ 将③代入②并整理得240y y --=，解得1y =2y =又点A 在x 轴上方， ∴A(3,．∴111||||122OAF S OF y ∆=⋅⋅=⨯⨯= 13．答案：1 1解析：DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB ＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB ． 因为AE ⊥CB ，所以AE ·CB ＝0． 所以DE ·CB ＝12＋0＝1． DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC ＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1． 14．答案：(－4，－2)解析：(一)由题意可知，m ≥0时不能保证对x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0成立． (1)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，g (x )＝2x －2，此时显然满足条件①； (2)当－1＜m ＜0时，2m ＞－(m ＋3)，要使其满足条件①， 则需10,21,m m -<<⎧⎨<⎩解得－1＜m ＜0；(3)当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，要使其满足条件①， 则需1,(3)1,m m <-⎧⎨-+<⎩解得－4＜m ＜－1．因此满足条件①的m 的取值范围为(－4,0)．(二)在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的m 的取值范围． (1)当m ＝－1时，在(－∞，－4)上，f (x )与g (x )均小于0，不合题意； (2)当m ＜－1时，则需2m ＜－4，即m ＜－2，所以－4＜m ＜－2； (3)当－1＜m ＜0时，则需－(m ＋3)＜－4，即m ＞1，此时无解． 综上所述满足①②两个条件的m 的取值范围为(－4，－2)． 15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1π)14x --， 所以f (x )的最小正周期2ππ2T ==． (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为［2k π－π2，2k π＋π2］(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为［k π－π8，k π)和(k π，k π＋3π8］(k ∈Z )． 16．解：(1)因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC ．所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ． 所以DE ⊥平面A 1DC ． 所以DE ⊥A 1C ．又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE ．(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,，D (0,2,0)，M (0,1，B (3,0,0)，E (2,2,0)． 设平面A 1BE 的法向量为n =(x ，y ，z )， 则n ·1A B =0，n ·BE =0．又1A B =(3,0，-)，BE =(－1,2,0)，所以30,20.x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令y =1，则x =2，z =所以n =(2,1)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ．因为CM =(0,1)，所以sin cos ,28CM CMCMθ⋅====n n n ， 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4． (3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ,0,0)，其中p ∈［0,3］． 设平面A 1DP 的法向量为m =(x ，y ，z )，则m ·1A D =0，m ·DP =0．又1A D =(0,2，-，DP =(p ，－2,0)，所以20,20.y px y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令x =2，则y =p ，z =．所以m =(2，p． 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m·n =0， 即4+p +p =0．解得p =－2，与p ∈［0,3］矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为4002=4001001003=++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400240600.71000++=，所以P (A )约为1－0.7＝0.3．(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13×［(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2］＝80 000．18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ．因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ． 解得a ＝3，b ＝3． (2)记h (x )＝f (x )＋g (x )，当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2．令h ′(x )＝0，得12a x =-，26ax =-．a ＞0时，h (x )与h ′(x )的情况如下：所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，2-)和(6-，＋∞)；单调递减区间为(2a -，6a -)． 当2a-≥－1，即0＜a ≤2时， 函数h (x )在区间(－∞，－1］上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为h (－1)＝a －14a 2． 当2a -＜－1，且6a-≥－1，即2＜a ≤6时，函数h (x )在区间(－∞，2a -)内单调递增，在区间(2a-，－1］上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为()12ah -=．当6a-＜－1，即a ＞6时，函数h (x )在区间(－∞，2a -)内单调递增，在区间(2a -，6a -)内单调递减，在区间(6a-，－1］上单调递增，又因为h (2a -)－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2＞0， 所以h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为()12ah -=．19．解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当50208852m m m m ⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪>--⎩，，，解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是(72，5)．(2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)． 由22428y kx x y =+⎧⎨+=⎩，，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0． 因为直线与曲线C 交于不同的两点， 所以∆＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即232k >． 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝21612k k -+，x 1x 2＝22412k+． 直线BM 的方程为1122y y x x ++=，点G 的坐标为(1132x y +，1)．因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为222AN y k x -=，1123AG y k x +=-， 所以k AN －k AG ＝21212121222633y y kx kx x x x x -++++=+ ＝2121221622()4412=0243312kx x k k k x x k -⨯⨯+++=++， 即k AN ＝k AG ．故A ，G ，N 三点共线．20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7．(2)不妨设a ≤b ．由题意得c ＝－1－a －b ． 又因为c ≥－1，所以a ＋b ≤0．于是a ≤0． r 1(A )＝2＋c ≥1，r 2(A )＝－r 1(A )≤－1，c 1(A )＝1＋a ，c 2(A )＝1＋b ，c 3(A )＝－(1＋a )－(1＋b )≤－(1＋a )． 所以k (A )＝1＋a ≤1．当a ＝b ＝0且c ＝－1时，k (A )取得最大值1． (3)对于给定的正整数t ，任给数表A ∈S (2,2t ＋1)如下：任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *∈S (2,2t ＋1)，并且k (A )＝k (A *)．因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)． 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)． 又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0，所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A ) ＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝12112t t j jj j t a b++==+-∑∑≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1． 所以21()2t k A t +≤+． 对数表A 0：则A 0∈S (2,2t ＋1)，且0()2k A t =+．。