第1章 质点运动学1.1 选择题1、 (1)根据瞬时速度矢量v 的定义，及其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小v可表示为[BDFH ](A)dt dr (B)dt r d(C)dtds (D)ds dt (E)dt dzdt dy dt dx (F)dx dy dz i j k dt dt dt v v v (G)222dt dz dt dy dt dx (H)21222dt dz dt dy dt dx(2)根据瞬时加速度矢量a 的定义，及其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小a可表示为[ACGH](A)dt v d(B)dt dv(C)22dt r d (D)22dt r d (E)22dt s d (F)222222dt z d dt y d dt x d(G)21222 dt dv v (H)2122222dt s d v(3)以下说法中，正确的是[BCDF](A)质点具有恒定的速度，但仍可能具有变化的速率 (B)质点具有恒定的速率，但仍可能具有变化的速度(C)质点加速度方向恒定，但速度方向仍可能在不断变化着 (D)质点速度方向恒定，但加速度方向仍可能在不断变化着(E)某时刻质点加速度的值很大，则该时刻质点速度的值也必定很大(F)质点作曲线运动时，其法向加速度一般并不为零，但也有可能在某时刻法向加速度为零 (4)D(5)质点以速度24t v m/s 作直线运动，沿质点运动直线作Ox 轴，并已知3 t s 时质点位于 x 9m 处，则该质点的运动学方程为[C] (A) t x 2(B) 2214t t x(C) 123143t t x(D) 123143t t x1.2 填空题(1)该时刻质点的瞬时加速度；从t 1到t 3时间内质点的平均加速度；4t vdt；4t v dt(2)圆周运动；匀速率曲线运动 (3)(4) dvdt ； 21t t v t dt ； 21t t v t dt1.7 一质点的运动学方程为2x t ， 21y t ，x ，y 的单位均为m ，t 以s 为单位，试求：(1)质点的轨迹方程；(2)在t =2s 时，质点的速度v 和加速度a(1)由运动学方程消去时间t 可得质点的轨迹方程，将t代入有21y1(2)对运动学方程微分求速度和加速度，即x dx v dt2t ; y dy v dt21t ; x y v v v v v v221ti t j v v x x dv a dt2 ; y y dv a dt 2 ; x y a a a v v v22i j v v当t=2s 时，代入即可42v i j vvvm/s; 22a i j vvvm/s 21.8第一类运动学问题：已知运动学方程，求v ，a已知一质点运动方程j t i t r 222 ，其中r 、t 分别以m 和s 为单位，试求：(1)1 t s 到2 t s 质点的位移；(2)2 t s 时，质点的v ，a； (3)质点的轨迹方程;(4)在Oxy 平面内画出质点的运动轨迹，并在轨迹图上标出t =2s 时，质点的位矢r v、速度v 和加速度a 。
解：(1)j i r 21，j i r 242 ，j i r r r3212(2)dt r d v ，dtv d a ；j t i v 22 ，j a2 ；2 t s 时，j i v 42 m/s ，j a2 m/s 2(3)j y i x r ；t x 2 ，22t y ；轨迹方程为422x y(4)10520151054321第二类运动学问题：已知加速度和初始条件，求v ，r已知质点运动的j a16 ，0 t 时，i v 60 ，k r 80求质点的速度v ，运动方程r解：dt v d a ，j a 16 ；v d dt a ， v v t v d dt a00， v v t v d dt j 0016j t v v 160 ，可得j t i v166dtr d v，j t i v 166 ；r d dt v ， r r v v rd dt v00， r r v v r d dt j t i0166 j t i t r r 2086 ，可得k j t i t r88621.10 一质点沿一直线运动，其加速度为a = -2x ，式中x 的单位为m ，a 的单位为m/s 2，试求该质点的速度v 与位置坐标x 之间的关系。
设当x =0时，v 0=4m/s 。
dva dt2dv dx dv v x dt dx dx ；002v xv vdv xdxv1.12 一质点沿半径R =1m 的圆周运动。
t =0时，质点位于A 点，如图。
然后沿顺时针方向运动，运动学方程为2s t t ，其中s 的单位为m ，t 的单位为s ，试求：(1)质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率；(2)质点在第1s 末的速度和加速度的大小。
(1)质点绕行一周所经历的路程为圆周的周长，即2s R =6.28m 由位移和平均速度的定义，可知此时位移为零，平均速度也为零，即0r v，0r v tv v令 202t s s s t t R ，可得质点绕行一周所需时间1t s ，平均速率为2s Rv t t=6.28m/s 上述结果可知路程与位移，速度与速率是不相同的。
(2) t 时刻质点的速度和加速度大小为dsv dt2t n a a a v v v 2v dv n R dt v v 222v d s n R dtv v故而a ，t=1s 时代入即可 v =9.42 m/s.；a =89.0 m/s 2.1.14 一质点按规律322s t t 在圆轨道上运动，s 为沿圆弧的自然坐标，以m 为单位，t 以s 为单位，如果当t=2s时总加速度为m/s 2，求此圆弧的半径。
质点做圆周运动，由自然坐标系下的运动方程可得质点运动速率大小234dsv t t dt切向和法向加速度大小为n a a a v v v 2v dv n R dt v v 222v d s n R dtv v64dva t dt；22234n t t v a R R当t=2s 时，v=20 m/s.，16a m/s 2.；400n a Ra R =25m1.15 一质点作半径为0.1m 的圆周运动，已知运动学方程为342t ，求： (1)当2 t s 时，质点运动的加速度a的大小； (2)当? 时，质点的加速度与半径成45角？ 提示：22 a a a n解：(1)2 r a n ，dt d ，2dt d r a n r t 4144r a ，22dtd ，22dt d r atr 2422 a a a n =230.5(m/s 2)(2)a与n a 成45 角，即 a a n ，则t t 241444，55.0 t s可得342t =2.67(rad)1.19 一质点运动学方程为2x t ， 21y t ，x ，y 的单位均为m ，t 以s 为单位。
(1)试写出质点的轨迹方程，并在Oxy 平面内示意地画出轨迹曲线； (2)质点的速度何时取极小值?(3)试求当速度大小等于10m/s 时，质点的位置坐标； (4)试求t 时刻质点的切向加速度和法向加速度的大小。
(1) 由运动学方程消去时间t可得质点的轨迹方程，将t代入有21y1 (抛物线)211.00.80.60.40.21(2) t 时刻质点的速度为x dx v dt 2t ; y dy v dt21t ; x y v v v v v v221ti t j v v速度大小为v令0dvdt，可知x x dv a dt2 ; y y dv a dt 2 ; x y a a a v v v22i j v v(3) 令 2222221x y v v v t t，得到t =4s ，代入运动学方程2x t =16m ， 21y t =9m ，即坐标为(16，9)m (4) x x dv a dt2 ; y y dv a dt 2 ; x y a a a v v v22i j v vn a a a v v v 2v dv n R dt v v 222v d s n R dtv vdv a dt22221d t t dt222211t t t22n a a a 且22x y a a a222222221221n t a t t因此，法向加速度221n a t t。