6
各向异性的应力
⎡1
P = − pδ + 偏应力张量 D = − p⎢⎢0
0 1
0⎤ 0⎥⎥
+
⎢⎢⎡ddyxxx
dxy dyy
dxz dyz
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣dzx dzy dzz ⎥⎦
性质4：不可压缩的牛顿流体
D = 2με = 2μ⎢⎢⎡εεyxxx
ε xy εyy
ε xz εyz
★壁面附近，当ux = ux(y)，uy =uz = 0， y
τ
=
pyx
=
2μεyx
=
⎡ 2μ⎢
⎣
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂uy ∂x
+
∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
μ⎜⎜⎝⎛ 0
+
∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
μ
dux dy
ux x
9
ρdxdydz
dux dt
= ρdxdydz • X
+ ⎢⎣⎡⎜⎝⎛ pxx
+
∂pxx ∂x
（3）自由面（气液界面） p ≈气体压强p0
21
ux方程：X
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν∇ 2ux
=
X
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
d 2ux dz 2
=
∂ux ∂t
+ ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
+ uz
∂ux ∂z
= 0 + ux
•0+ 0+ 0 = 0
uz方程：
Z
−
1 ρ
∂p ∂z
+ ν∇ 2uz
=
=0
边界条件 z = 0，ux = 0；z = h，ux = U
确定系数：C2 = 0，C1 = U/h 得
ux
=
U h
z
z
U
h
ux
x
uy = uz = 0
24
如果考虑x方向的压强差，
∂p ∂x
=
−
Δp L
≠0
→
d 2ux dz 2
=
−
Δp μL
ux
=
−
Δp μL
z2 2
+ C1z
+C2,
p
=
−ρgz
fr
−
1 ρ
∇p
+
ν∇ 2ur
=
∂ur ∂t
+
(ur
•
∇ )ur
15
4.2.3 理想流体的运动微分方程
忽略粘性项，P = – pδ，运动方程为
X
−
1 ρ
∂p ∂x
=
du x dt
=
∂ux ∂t
+ ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
+ uz
∂ux ∂z
Y
−
1 ρ
∂p ∂y
=
duy dt
=
∂uy ∂t
第4章 流体动力学基础
流体应力张量和本构关系式； 流体运动微分方程及其求解和积分； 恒定总流的三大基本方程及其应用。
课件制作：武汉大学水利水电学院 赵昕
1
应力张量
P
=
⎡ ⎢ ⎢
p xx pyx
p xy pyy
p xz pyz
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡ p11
⎢ ⎢
p
21
p12 p 22
p13 ⎤
p
23
⎥ ⎥
⎢⎣ pzx pzy pzz ⎥⎦ ⎢⎣ p31 p32 p33 ⎥⎦
∂ux ∂y
+ uz
∂ux ∂z
Y
−
1 ∂p ρ ∂y
+
ν∇ 2uy
=
∂uy ∂t
+ ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
Z
−
1 ∂p ρ ∂z
+ ν∇2uz
=
∂uz ∂t
+ ux
∂uz ∂x
+ uy
∂uz ∂y
+ uz
∂uz ∂z
质量力 压差力 粘性力 时变惯性力 位变惯性力
矢量形式
+
∂pzz ∂z
⎟⎟⎠⎞
=
duz dt
=
∂uz ∂t
+L
或
fr
+
1 ρ
∇•P
=
dur dt
=
∂ur ∂t
+ (ur
• ∇)ur
——应力形式的流体运动微分方程组
◆ 方程成立的条件：连续介质。 （任何流体，任何流动）
◆ 须补充应力张量的表达式——本构关系式。
12
4.2.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程
2
性质1：应力张量是对称的，即 pij = pji （切应力互等）， 有6个独立分量。
pyx
对过C点且//z轴之转轴取矩
( ) Jω& z
=ρ 12
dx 2
+ dy 2
dxdydz
• ω& z
pxy
∑ = M = pxydydz • dx − pyxdxdz • dy
pxy C dy
dx pyx
( ) pxy − pyx = ρω& z dx 2 + dy 2 12 ⇒ 0
本构关系式——广义牛顿内摩擦定律
pxx
=
−p
+ 2μεxx
=
−p
+ 2μ
∂ux ∂x
,
pyy
=
− p + 2μεyy
=
−
p
+
2μ
∂uy ∂y
p zz
= − p + 2μεzz
=
−
p
+
2μ
∂u z ∂z
pxy
=
pyx
=
2μεxy
=
μ⎜⎜⎝⎛
∂uy ∂x
+
∂ux ∂y
⎟⎟⎠⎞,
pyz
=
p zy
=
2μεyz
⎫ ⎪ ⎬
=
nv
•
P
⎪⎩ pnz ⎪⎭ ⎢⎣ pxz pyz pzz ⎥⎦⎪⎩n z ⎪⎭
5
4. 1 运动流体的应力状态
pzz
第一个下标为作用面法向， 第二个下标为应力的方向。
pzy pxx pzx
pyx
pxy
pyz
pyy z
pyz
pxz
pxz
pxy
pyx
pyy
y
pzx
pxxpzyxFra bibliotekpzz
正面与负面应力方向相反（作用力与反作用力）。
=
μ⎜⎜⎝⎛
∂u z ∂y
+
∂uy ∂z
⎟⎟⎠⎞
p zx
=
p xz
= 2μεzx
=
μ⎜⎛ ⎝
∂u x ∂z
+
∂u z ∂x
⎟⎞ ⎠
代入运动微分方程中得
13
得 不可压缩粘性流体的运动方程组 （Navier-Stokes方程组）
X
−
1 ρ
∂p ∂x
+ ν∇ 2ux
=
∂ux ∂t
+ ux
∂ux ∂x
+ uy
∴ pxy = pyx
4
性质3：pxx + pyy + pzz 是应力张量的不变量，其大小与 坐标系的选择无关。
◆ 流体动压强的定义：
( ) p = − 1 3
p xx
+ pyy
+ pzz
= p(x,y, z,t )
p与作用面的方位无关（各向同性），是一个标量场函数。 ⎡1 0 0⎤
★如果应力张量为各向同性，则 P = − p⎢⎢0 1 0⎥⎥ = − pδ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
的数值解，用到各种数值方法。
19
2．边界条件：解在流动区域的边界上需要满足的条件
（1）静止固壁 理想流体：un = 0
un
uτ
粘性流体：无滑移条件（粘附条件） ur = 0 即un = 0，uτ = 0
（2）运动固壁
理想流体：un = un固 粘性流体： ur = ur固 即 un = un固，uτ = uτ固
+
ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
Z
−
1 ρ
∂p ∂z
=
duz dt
=
∂uz ∂t
+ ux
∂uz ∂x
+ uy
∂uz ∂y
+ uz
∂uz ∂z
—— 理想流体运动微分方程组（欧拉运动方程）
17
dux dt
=X
+
1 ρ
⎜⎜⎝⎛
∂pxx ∂x
+
∂pyx ∂y
+
∂pzx ∂z
⎟⎟⎠⎞
=
X
+
1 ρ
⎡ ⎢− ⎢⎣
∂p ∂x
+
2μ
∂ 2u x ∂x 2
+
μ⎜⎜⎝⎛
∂ 2uy ∂y∂x
+
∂ 2u x ∂y 2