特殊的平行四边形——菱形
一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。

2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。

三．菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形；
3.对角线垂直的平行四边形是菱形；
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

四．菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半.（有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的4倍
复习：
1.如图，在ABC △中，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且
AF DC =，连接CF ．
（1）求证：D 是BC 的中点；（2）若AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明．
解答：（1）证明：AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠．∵E 是AD 的中点，AE DE ∴=．
又AEF DEB ∠=∠，AEF DEB ∴△≌△．AF DB ∴=．∵AF DC =，DB DC ∴=．
（2）解：四边形ADCF 是矩形，证明：∵AF DC ∥，AF DC =，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB AC =，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．即90ADC ∠=．∴四边形ADCF 是矩形．
菱形例题讲解：
1.已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE∥AC 交AB 于E ，DF∥AB 交AC 于F ．若AD 平分∠BAC，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
解答：四边形AEDF 是菱形，∵DE ∥AC ，∠ADE=∠DAF ，同理∠DAE=∠FDA ，∵AD=DA ，
∴△ADE ≌△DAF ，∴AE=DF ；
∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA ．∴AF=DF ．∴平行四边形AEDF 为菱形．
2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，BC=CD ，AD⊥BD，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形． O D C
B A
证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是Rt△∵E 是AB 的中点，∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE ．（四边相等的四边形是菱形）
3.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB，
（1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD=4，求D 、F 两点间的距离．
解答：（1）证明：∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴ED=CD =CE ．∵EF∥AB
∴∠EFC =∠ACB =∠FEC =60°, ∴EF=FC=EC ∴四边形EFCD 是菱形．
（2）解：连接DF ，与CE 相交于点G ，由CD=4，可知CG=2， ∴ ∴．
4.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形． 证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO ，∴△AOE≌△COF．
∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC 是EF 的垂直平分线．
∵EF 是AC 的垂直平分线．∴四边形AFCE 为菱形
5.在 ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．
（1）求证：ADE CBF △≌△．
（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
解:（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵E ，F 分别为AB ，
CD 的中点∴AE =CF , (SAS)AED CFB ∴△≌△．
（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形． 证明：AD BD ⊥，ABD ∴△是Rt △，
且AB 是斜边（或90ADB ∠=）,E 是AB 的中点，12
DE AB BE ∴==．由题意可EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形．
第5题 实战演练 1.一菱形周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm 2 B.24cm 2 C.48cm 2
D.96cm 2
2.如图，已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE
的长为_____78cm __________. 分析：连EB,∵EF
垂直平分BD,∴ED=EB,设AE=x,则DE=EB=
（4-x ）,AE²+AB²=BE²,即：x²+3²=（4-x ）²,解得：x= 7/8
3.如图,在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH⊥AB，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ 12/5 ．
4.如图，菱形ABCD 的
连长是2㎝，E 是AB 中点，且DE⊥AB，则菱___23______㎝2． 形ABCD 的面积为
5.如图，在菱形ABCD
中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为 65°
6.ABCD 是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3= 90 度．
7.在菱形ABCD 中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD 的面积为 96
8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是 58° ．
9.已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AB = 6，∠BDC = 30，则菱形的面积为 183 ．
10.在四边形ABCD 中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC 平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD 是菱形，你认为这三个条件是 ①③④或②③④ ．（写四个条件的不给分，只填序号）
11.如图，已知在□ABCD 中，AD=2AB ，E 、F 在直线AB 上，CE 与AD 交与点M ， DF 与CB 交与点N ，且AE=AB=BF ， 求证:CE ⊥DF.
第4题
B A D
C E 第2题 第3题 第6题
证明：连接MN,∵□ABCD, ∴AB=DC, 又∵AB=AE, ∴AE=DC ∴∆AEM ≅∆CDM,
∴M 为AD 的中点. 又∵AD=2AB, ∴CD=DM ∴CDMN 是棱形, 所以CE ⊥DF.
12.如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，
且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．
解：解法一：四边形CDEF 是菱形．理由：如图所示，BD 平分∠ABC，∴CD=DE ，
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，•∴∠3=∠4．∴CF=CD ． ∴CF=DE ．因为CF //DE ．•所以四边形CDEF 是平行四边形．所以□CDEF 是菱形．
13.如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，过点D•作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E ，F ，再过E ，F 作EG⊥AC，FH⊥A B ，垂足分别为G ，H ，且EG ，•FH 相交
于点K ，试说明EF 和DK 之间的关系．
解：EF 与DK 互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，∴DE∥FH．• ∵DF⊥AC，EG ⊥AC，所以DF∥EG．∴四边形DEKF 是平行四边形． ∵AB=AC，∴∠B=∠C．又因为BD=CD ，∠BED=∠CFD=90°， ∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF ．∴DEKF 是菱形，∴EF 与DK 互相垂直平分． 点拨：要说明EF 与DK 互相垂直平分，只要说明四边形DEKF 是菱形，•要说明四边形DEKF 是菱形，可先说明四边形DEKF 是平行四边形，再说明一组邻边相等即可． D A
C F H E B K
D A C
F H
G E B。