菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C；（2）▱ADFE是菱形．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．参考答案：1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵CD=DE=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC，∵AF=CD，∴AF=DB，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE，又∵∠ECF=60°，∴AC=EC=AE，∴AD=DC=CE=AE，（2）证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C（等边对等角），∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB，∴四边形MENF是平行四边形，∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC，∵AB=CD，∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∵，∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，，∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，，∴△ADM≌△CFM（AAS），∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC，∴∠AMB=∠MBN，∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF，又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴DM=DN，∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分）又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．（8分）∴AF=AE，CF=CE，又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB，所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，则DO=10，EO=7.5．由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD，即所以得AD=12．根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．由2（AB+AD）=2（16+12）=56，故矩形ABCD的周长为5622．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴BA=BE，∴平行四边形ABEF为菱形23．（1）证明：在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，∴∠EAC=∠FCA．∴AE∥CF．∴四边形AECF为平行四边形，又∠CAE=∠ACE，∴AE=EC．∴▱AECF为菱形．（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，所以EC=5，即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．24．四边形AFCE是菱形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形25．（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，又∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，∴AE=CF，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）条件：EF⊥AC，∵EF⊥AC，又∵四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形．26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴BE=CE，又∵∠BEC的平分线是EF，∴EO是中线（三线合一），∴BO=CO，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又∵BE=CE，∴四边形BFCE是菱形．27．（1）证明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=AB，∴AC=AB即可，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．29．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形30．1）解：OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，∵OE=OF，∴四边形AECF是正方形；（3）答：不可能．解：如图所示，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．。