2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析一．选择题（共3小题）1．已知▭ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CDC．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180°2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2二．填空题（共2小题）4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）．5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是．三．解答题（共6小题）6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．8．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是；（2）t＝时，四边形AECF是矩形；（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．9．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM＝ME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知▭ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CDC．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180°【分析】根据菱形的判定方法①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．【解答】解：A、添加AB＝AC，不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；B、添加AB＝CD，不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；C、添加对角线互相垂直，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项正确；D、添加∠A+∠C＝180°不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法．2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．二．填空题（共2小题）4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是AB＝BC（答案不唯一）（只需填一个即可）．【分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD是菱形故答案为：AB＝BC（答案不唯一）【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是平行四边形．【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定．关键是掌握平行四边形的判定方法．三．解答题（共6小题）6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．【分析】根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH＝HC，从而得出四边形EBFC是菱形．【解答】证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC，∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形，又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA＝180°，从而得到∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，得到答案∠AOD＝90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．8．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是平行四边形；（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD＝2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF ＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是矩形，则∠AFC＝90°，得出AF⊥CD，由平行四边形的面积得出AF＝4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当AE＝CE时，四边形AECF是菱形．过C作CG⊥BE于G，则CG＝4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2cm，AB∥CD，∴CF∥AE，∵DF＝BE，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；理由如下：若四边形AECF是矩形，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥CD，∵S▱ABCD＝CD•AF＝8cm2，∴AF＝4cm，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，即42+（t+2）2＝52，解得：t＝1，或t＝﹣5（舍去），∴t＝1；故答案为：1；（3）依题意得：AE平行且等于CF，∴四边形AECF是平行四边形，故AE＝CE时，四边形AECF是菱形．又∵BE＝tcm，∴AE＝CE＝t+2（cm），过C作CG⊥BE于G，如图所示：则CG＝4cmcm，∵AG＝＝＝3（cm），∴GE＝t+2﹣3＝t﹣1（cm），在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2＝CE2＝AE2，即42+（t﹣1）2＝（t+2）2，解得：t＝，即t＝s时，四边形AECF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．9．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM＝ME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ACP＝∠BCP＝30°，再根据角平分线的性质得PD＝PE，则利用“HL”可证明Rt△DCP≌Rt△ECP得到CD＝CE，然后证明△DCM ≌△ECM得到DM＝ME；（2）利用∠DCP＝30°得到PC＝2PD，∠CPD＝60°，则当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以PD＝PM，从而得到CM＝PM，即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．【解答】（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，∴PD＝PE，在Rt△DCP和Rt△ECP中，∴Rt△DCP≌Rt△ECP，∴CD＝CE，在△DCM和△ECM中，∴△DCM≌△ECM，∴DM＝ME；（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．理由如下：∵∠DCP＝30°，∴PC＝2PD，∠CPD＝60°，∵PD＝PE，MD＝ME，∴当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，此时△PDM为等边三角形，∴CM＝PM，∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．证明：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．（2）∵四边形AEBO是矩形∴EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝DC．【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．。