P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
指数分布
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
P{ X
s
t
|
X
s}
P{(
X
st) (X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t s}
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
连续型随机变量分布函数的性质
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
较线密度的定义）. 由(2)式，若不计高阶无穷小，则有
易见， (1) f ( x) 0;
f (x)
(2) f ( x)dx 1.
f ( x)的几何图形如图.
注：指数分布常用来
O
x
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 x
0, x 0 f ( x) F ( x) 2x, 0 x 1
0, 1 x
2 x,
0,
0 x1 其它 .
完
均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb
其它
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为 X ~
U (a,b). 易见，(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求
(2) X 的密度函数.
解
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
x
2
,
1,
求 (2) X 的密度函数.
解 (2) X 的密度函数为
x0 0 x 1,
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
P{c X c l}
cl
f ( x)dx
c
cl c
b
1
adx
b
l
a
.
易求得 X 的分布函数
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
完
例4 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 10 30
dx
30 1 25 30
dx
1 3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
完
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
ex ,
f (x) 0,
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为X ~ e( ).
注： 在区间 (a,b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
其取值落在 (a,b) 中任意等长度的子区间内的概率
是相同的，且与子区间的长度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
解 X 的分布函数为
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
解
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
解
F(x)
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30),
f ( x) 310 , 0 x 30 0, 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
P{a X b}. 3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
当 x 1, F ( x) 1, 故
F ( x) x
3 t dt 06
x 0
t 6
dt
,
x 2 3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
x2 12,
3
2x
x2
4,
1,
x0 0 x3 3 x4 .
x4
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
f
(
x)
2
x 6
,
x 2
0,
,
0 x3
3 x4.
其它
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx, 0 x 3
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
3 x 4. 其它
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
(1) 确定常数 k;
0 x3 3 x 4.
其它
解 由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
0,
1
x2
1
arcsin
x
1 2
,
1,
x 1
1 x 1.
x 1
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2 Βιβλιοθήκη x 20,,
0 x3 3 x 4.
其它
(1) 确定常数 k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
解
P{1 X 7 / 2}
7/2
f ( x)dx
1
3 1
1 6
xdx
7/ 2 3
2
x 2
dx
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解 P{1 X 7 / 2}
连续型随机变量分布函数的性质
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
为0.
P{ X a} lim P{a x X a} x0 a lim f ( x)dx 0, x0 ax
故对连续型随机变量 X , 有