即:
2 x y (1 e )(1 e ), x 0, y 0, P{ X x, Y y} 其他. 0,
(3) 区域如图所示, 则
P{( X , Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
dx 2e 2 x y dy
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan , x, y R 2 3
(1) 试确定常数A、B、C;
(2) 求事件 {2 X ,0 Y 3} 的概率.
解 (1) 由分布函数的性质(2)知


f ( x, y )dxdy 1;
(3) 若 f ( x, y)在连续点( x, y) 处，有
2 F ( x, y ) f ( x, y ); xy
(4) 设 G 为 xOy平面的一区域，则
P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy.
G
例5 若(X,Y)的联合概率密度函度为
第三章
多维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两 个以上的 随机变量来描述. 例如:用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、 含硫、含磷量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机
变量之间的联系, 就需要把它们作为一个整体来考虑.
这就需要我们研究多维随机变量.
第一节
二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 )≥0
事实上
y2 y1
x1 x2
F(x2,y2) – F (x2,y1)– F (x ,y ) 1 2 + F (x1,y1)
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) 0
y
(x, y) x
(X,Y)的联合分布函数满足如下基本性质：
(1)F(x,y)是变量x, y的不减函数.
即对于任意固定的
y ,当 x1 x2 时, F ( x1 , y)≤F ( x2 , y) ;
对于任意固定的 x , 当 y1 y2 时, F ( x, y1 )≤F ( x, y2 ) . (2) 0 F ( x, y ) 1.
(1) 非负性: pij 0, i, j 1, 2,
;
( 2) 规范性： pij 1
i, j
离散型随机变量 X，Y 的联合分布函数为
F ( x, y ) P{ X x, Y y} pij
xi x yi y
例3 从一个装有2个红球,3个白球和2个黑球的袋中随机 地取2个球,设X和Y分别表示取出的红球数和黑球数,求 (X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}. 解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2. (X,Y)的所有可 能值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0). 由古典概率计算可得 P{ X 0, Y 0} C32 / C72 1 7,

0


0
Ae (2 x y ) dxdy
2 x


0


0
y A e d x e Ae e dxdy 0 0 dy
2 x y



0


0
y A e d x e Ae e dxdy 0 0 dy
2 x y

2 x

A 1 2 x y . A( e ) ( e ) 2 0 0 2
P{X 1, Y 0} P{X 1, Y 1}
1 2 2 4 19 7 7 7 21 21
P{X Y 2}
P{X 0, Y 2} P{X 1, Y 1} P{X 2, Y 0}
1 4 1 2. 21 21 21 7
F ( x, y )
x


y
f (u , v)dvdu
则称(X,Y)为二维连续型随机变量.
非负二元函数 f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的联合概率密度
函数, 简称为概率密度.
概率密度 f(x, y) 的性质：
(1) f ( x, y) 0;
(2)


ce (2 x y ) , x≥0, y≥0, f ( x, y ) 其他. 0, 试求:(1)常数c; (2)求出它的分布函数 F ( x, y );
(3) P{(X,Y)∈G},其中G是直线 y = 2, x = 1, x轴和 y轴 围成的区域
解 (1) 由联合概率密度的性质, 有
y (0,2)•
讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？ 解
F (2,2) F (0,2)
•(2,2)
F (2,0) F (0,0)
111 0
1 0
(0,0) •
(2,0) •
x
故F(x, y)不能作为某二维 随机变量的分布函数.
例2 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
π π F (, ) A B C 1 2 2
1 由此解得 A 2 , π
π BC . 2
从而有
x 1 1 y 1 1 F ( x, y ) arctan arctan . 2 2 π 3 2 π
求 P{ X 1, Y 0} 及 F (0, 0).
解： P{ X 1, Y 0} P{ X 1, Y 0} P{ X 1, Y 1}
P{X 1, Y 0} P{X 1, Y 1}
0.1 0.1 0.2 0 0.4.
二元函数
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维随机变量 (X , Y )的 一组可能的取值,则 F (x, y) 表示(X , Y ) 的取值落入下图 所示角形区域的概率.
0 0
1
2
2e
0
1
2 x
dx e y dy (1 e 2 ) 2 .
0
x y
x y
(3) F ( x, y )关于x, y是右连续的，即
F ( x, y ) F ( x 0, y )，F ( x, y ) F ( x, y 0)
(4)对于任意 x1 , x2 ( x1 x2 )及 y1 , y2 ( y1 y2 ) ，有
3 1 9 3 1 . 4 2 16 8 16
二、二维离散型随机变量 若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无 限可列多对,则称( X,Y ) 为二维离散型随机变量。 定义3.3：设(X,Y)的一切可能值为 ( xi , y j ), i, j 1,2, , 且( X, Y )取各对可能值的概率为
P{ X 2, Y 0} C / C
2 2 2 7
1 21
.
于是(X,Y)的分布可用表示
Y X 0 1 2 0 1 2 1/21 0 0
1/7 2/7 2/7 4/21 1/21 0
由(X,Y)的分布律,所求概率为
P{ X 1, Y 2} P{ X 0, Y 0} P{ X 0, Y 1}
x π F ( x, ) A B arctan C 0 2 2
π y F (, y ) A B C arctan 0 2 3
解 (1) 由分布函数的性质(2)知
x π F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 π y F (, y ) A B C arctan 0 2 3
所以,
A 2.
(2)
P{ X x, Y y}
x Yy来自yf ( s , t ) dt ds
所以, 当x≥0,y≥0时,

0
x
y
0
2e
(2 s t )
x
dtds
y 0
0
x