2018届内蒙古包头市高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（ ）A ．1B ．2 C ．3 D ．42.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，2{|,}M x x x x U =≤∈，32{|320}N x x x x =-+=，则M N =I （ ）A ．{0,1,2}--B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{0,1}3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）A ．25升 B ．611升 C ．1322升 D ．2140升 4.若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35.已知550(21)x a x -=4145a x a x a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，则015a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=（ ）A ．1B ．243C ．32D ．211 6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．83 B ．323 C ．163 D ．2837.若双曲线C ：22221x y a b-=的离心率为e ，一条渐近线的倾斜角为θ，则cos e θ的值（ ）A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．不能确定，与e ，θ的具体值有关 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的150t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。

现在规定：当牌的一面为字母R 时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ）A ．翻且只翻（1）（4）B ．翻且只翻（2）（4）C ．翻且只翻（1）（3）D ．翻且只翻（2）（3）10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 是EF 的中点，沿DE ，EF ，FD 将正方形折起，使A ，B ，C 重合于点P ，构成四面体，则在四面体P DEF -中，给出下列结论：①PD ⊥平面PEF ；②PD EF ⊥；③DG ⊥平面PEF ；④DF PE ⊥；⑤平面PDE ⊥平面PDF .其中正确结论的序号是（ ）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．②④⑤11.已知函数3()24f x x x =-2()xxe e -+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[,2]3-B ．2[1,]3--C ．2[,1]3D ．1[2,]3-12.已知BC 是圆O 的直径，H 是圆O 的弦AB 上一动点，10BC =，8AB =，则HB HC ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．4-B ．25-C ．9-D ．16-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ．14.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，(0,)2πωϕ><，58x π=为()y f x =图象的对称轴，118x π=为()f x 的零点，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ= ．15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若26S =，123n n a S +=+，*n N ∈，则4S = ．16.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于M ，N 两点.若4MF NF OF +=，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. （1）求sin sin AC的值；（2）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S . 18.如图，四棱锥H ABCD -中，HA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，6AB AD AC ===，8HA BC ==，E 为线段AD 上一点，2AE ED =，F 为HC 的中点.（1）证明：//EF 平面HAB ； （2）求二面角E HF A --的正弦值.19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表： 生长指标值分组 [165,175) [175,185) [185,195) [195,205) [205,215) [215,225) [225,235)频数10 45 110 165 120 40 10（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布2(,6)N μ，其中μ近似为样本平均数x ，26近似为样本方差2s .①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间(187.8,212.2)的小麦株数，利用①的结果，求EX .12.2≈.若2(,6)Z N μ:，则(66)0.6826P Z μμ-<<+=，(2626)0.9544P Z μμ-<<+=.20.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点，124F F =，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足122AF BF =u u u r u u u u r.（1）求椭圆C 的方程； （2）求四边形21ABF F 的面积.21.已知函数2()ln f x ax x x =--，(,ln 1)a R x x ∈≤-. （1）若38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ=.（1）若2a =-时，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为a . 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()12f x x x =+--，2()g x x x a =--. （1）当5a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.2018年普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试） 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ADCDB 6-10: CBBAC 11、12：DD二、填空题13.56 14. 12π15. 66三、解答题17.解：（1）由正弦定理，设sin sin sin a b ck A B C===， 则22sin sin sin c a k C k A b k B --=2sin sin sin C A B-=. 由题设条件，得cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=， 整理得sin()2sin()A B B C +=+. 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =，即sin 1sin 2A C =. （2）由余弦定理，可知222cos 2a c b B ac +-=14=，①由（1）可知sin 1sin 2A a C c ==，② 由2b =，再联立①②求得2c =，1a =，sin B =4=，((0,))B π∈，所以1sin 24S ac B ==. 18.解：（1）由已知得243AE AD ==，取BH 的中点G ，连接AG ，GF ， 由F 为HC 的中点知//GF BC ，142GF BC ==， 又//AD BC ，故//GF AE ，所以四边形AEFG 为平行四边形，于是//EF AG ，AG ⊂平面HAB ，EF ⊄平面HAB ，所以//EF 平面HAB .（2）取BC 的中点T ，连接AT .由AB AC =得AT BC ⊥，从而AT AD ⊥，且AT ==以A 为坐标原点，AT u u u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.由题意知，(0,0,8)H ，(0,4,0)E，4,0)C，2,4)F ，(0,4,8)HE =-u u u r，2,4)HF =-u u u r，2,4)AF =u u u r.设(,,)n x y z =r 为平面HEF 的法向量，则00n HE n HF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，即480240y z y z -=⎧⎪+-=，可取(0,2,1)n =r . 设000(,,)m x y z =u r为平面HAF 的法向量，则00m HF m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，即240240y z y z +-=++=，可取(2,m =u r . 于是cos ,n m <>r u r m n m n ⋅=⋅u r ru rr 23=-，sin ,n m <>=r u r 所以二面角E HF A --的正弦值为3.19.解：（1）画图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.09x =⨯+⨯1900.222000.332100.24+⨯+⨯+⨯2200.082300.02200+⨯+⨯=，222(30)0.02(20)0.09s =-⨯+-⨯2(10)0.2200.33+-⨯+⨯22100.24200.08+⨯+⨯2300.02150+⨯=.（3）①由（1）知(200,150)Z N :，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.220012.2)P Z =-<<+0.6826=.②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B :， 所以1000.682668.26EX =⨯=.20.解：（1）由题意知26a =，24c =，所以3a =，2c =.所以2225b a c =-=，椭圆C 的方程为22195x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以111(2,)AF x y =---u u u r ，222(2,)BF x y =--u u u u r ， 由122AF BF =u u u r u u u u r ，得1222(2)x x +=-，122y y =.延长AB 交椭圆于H ，因为122AF BF =u u u r u u u u r，所以12//AF BF ，且122AF BF =. 所以线段2BF 为1AF H ∆的中位线，即2F 为线段1F H 的中点， 所以(6,0)H .设直线AB 的方程为6x my =+，代入椭圆方程得，225(6)945my y ++=，即22(59)601350m y my +++=. 所以122260359m y y y m +=-=+，21222135259y y y m ⋅==+，消去2y ，得229325m ⨯=，依题意取5m =-.1221AF H BF H ABF F S S S ∆∆=-四边形11221122F H y F H y =-1222242826y y y y y =-=-=2120594m m =-=+.21.解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--， 所以31'()14f x x x =--(32)(2)(0)4x x x x+-=>.令'()0f x =，得2x =，当(0,2)x ∈时，'()0f x <；当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--. （2）由2()ln f x ax x x =--，得1'()21f x ax x=--221(0)ax x x x --=>，所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<， 函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.因为当10a -≤≤时，(1)10f a =-<，221()0e e a f e e -+=>， 所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,)+∞上有零点.综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点.（3）由（2）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.因为()f x 有两个零点，所以0a >.由2()ln f x ax x x =--，得221'()(0)ax x f x x x --=>. 令2()21g x ax x =--，因为(0)10g =-<，20a >，所以()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设这个零点为0x ，当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >；所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增.要使函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即2000ln 0ax x x --<.因为2000()210g x ax x =--=，所以2000ln ax x x --20001(2ln 22)2x ax x =-+- 200001[2ln (21)1]2x ax x x =-+---+001(12ln )02x x =--<， 可得002ln 10x x +->，又因为()2ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上是增函数，且(1)0h =，所以01x >，0101x <<， 由200210ax x --=，得02012x a x +=20011()x x =+20111()24x =+-， 所以022a <<，即01a <<.以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点.当01a <<时，2121()1a g a a a =--10a a -=>，(1)2(1)0g a =-<， 所以011x a<<. 因为211()1a f e e e=-+220e e a e -+=>，且0()0f x <， 所以函数()f x 在01(,)x e上有一个零点. 又因为22422()ln a f aa a a =--22(1)10a a≥--=>（因ln 1x x ≤-）. 且0()0f x <，所以()f x 在02(,)x a上有一个零点. 所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a 内有两个零点. 综上，实数a 的取值范围是(0,1).22.解：（1）曲线的普通方程为224x y +=，当2a =-时，直线l 的普通方程为20y x +=， 由22204x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l的交点坐标为(，. （2）直线l 的普通方程为220x y a +--=，设C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 上的点(2cos ,2sin )θθ到l 的距离为d==.当2a ≥-时，d==8a =-， 当2a <-时，d=12a =，综上，8a =-12a =-.23.解：（1）当5a =时，不等式()()f x g x ≥等价于12x x +--25x x ≥--，①当1x <-时，①式化为220x x --≤，无解；当12x -≤≤时，①式化为2340x x --≤，得12x -≤≤；当2x >时，①式化为280x x --≤，得122x +<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为1[1,2-. （2）当[2,3]x ∈时，()3f x =，所以()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，等价于[2,3]x ∈时()3g x ≤. 又2()g x x x a =--在[2,3]上的最大值为(3)6g a =-. 所以(3)3g ≤，即63a -≤，得3a ≥.所以a 的取值范围为[3,)+∞.。