华北电力大学硕士研究生课程考试试题
（A卷）(2013-2014)
一、判断题（每小题2分，共10分）
1. 方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。
(X)
见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后
者小于等于n
2. 设12
,,,m αααL 是线性无关的向量,则
12dim(span{,,,})m m ααα=L .
正确，线性无关的向量张成一组基
3.如果12,V V 是V 的线性
子空间,则1
2V V ⋃也是V
的线性子空间.
错误，按照线性子空间的定
义进行验证。
Aλ是可逆4. n阶λ-矩阵()
Aλ的充分必要条件是()
的秩是n .
见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是A
的最小多项式没有重根. 见书90页。
二、填空题（每小题3分，共27分）
（6）
210021,
003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A e 的
Jordan 标准型为2
23e 100
e 0,00e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭。
首先写出
A
e
然后对于
若当标准型要求非对角元部分为1.
（7）
301
002
030λ
λ
λ
-
⎛⎫ ⎪
+ ⎪ ⎪
-
⎝⎭
的Smith标准型为
见书61-63页，将矩阵做变换即得
（8）设
1000.10.30.20
0.40.5A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则100lim 000000n
n A
→+∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
见书109页，可将A 对角化再计算即得。
（9）2345⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 在基
11120000,,,00001321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的坐标为(1,1,2,1)T。
见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T ，再写出
过渡矩阵Ａ，坐标即A的逆乘以自然基下坐标。
对于本题来说。
由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。
因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。
（10）设
423243537A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
，则A ∞= 15。
见书100页，计算每行的绝对值的和。
=2003⎛⎫ ⎪⎝
⎭。
对矩阵中的每个元素求极限。
12设
,,m n p q m q A R B R C R
⨯⨯⨯∈∈∈是已知矩阵，则矩阵方程
AXB C =的极小
范数最小二乘解是+()T X A B C =⊗u u r u r 见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。
（11）若n 阶方阵A 满足
30A =，则
cos A =
212E A - 。
见书121页，30A =，所
以后面的项都为零。
（12）方阵A 的特征多项式是33
(2)(3)(5)λλλ---，最小多项式是 2
(2)(3)(5)λλλ---，则
A的Jordan标准形是
特征多项式决定了A的阶数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3，1个5.最小多项式决定了若当块的大小，如2有1个1阶和1个2阶，3和5都只有1阶的若当块。
三(7分)、设
+=有唯一证明AX XB C
解。
见书114页，本题需要验证A 和-B 没有相同的特征值，具体解法如下。
证明：
33+T A E E B ⊗⊗非奇异。
显然,B -的特征值为2,1,2--,下证明：2,1,2--不是A 的特征值：
（1） 方法1：用圆盘定
理。
A 的三个行圆盘分别
是
(12,4),(7,2),(8,1)B B B -,
2,1,2--都不在
中，因此A 与B -没有相同的特征值，从而0不是33+T
A E E
B ⊗⊗的特征
值，故33+T
A E E
B ⊗⊗可
逆，从而 AX XB C +=有唯一解。
（2） 方法2：求出A 的
特征多项式，再证明
2,1,2--不是A 的
特征值。
方法3：直接写出
33+T A E E B ⊗⊗，再证明
它非奇异。
四(8分)、设3维内积空间
在基123,,ααα下的矩
阵
211150103A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。
求 123{++}span ααα
的正交补空间。
见书28页，内积空间在基下的矩阵是指度量矩阵。
按照内积定义给出正交补空间中元素应该满足的条件。
然后求解。
解：设
112233123=++({++})x x x span βαααααα⊥∈，
则123(,,)T x x x 满足方
程
它的基础解系为
12=(-3,1,0),=(0,1,3)T T ξξ-，
因此
五(10分)、设5阶实对称矩阵A 满足
23
(3)(5)0A E A E -+=，(3)1rank A E -=，求A 的谱半径和Frobenius 范
数
F A 。
注意A 满足的方程说明那个式子是零化多项式，并不是最小多项式，也不是特征多项式。
只说明A 的特征根为3和-5，再根据后面的条
件才知道有4个3和1个-5.然后根据范数定义得到结果。
解：因为实对称矩阵A 是5
阶矩阵，且满足
23
(3)(5)0A E A E -+=， (3)1rank A E -=，因此存在正交矩阵P ,使得
由于正交变换不改变矩阵的Frobenius 范数，因此 六(10分)、求
+
502145513305127⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭ 。
见书184页，首先对矩阵满秩分解，再按广义逆的计算公式计算得到结果。
七(14分)、3()P t 的线性变换
2323012302132031()()()()()T a a t a t a t a a a a t a a t a a t +++=-+-+-+-
（1）求()()R T N T ，的基。
（2）求T
的一个三维不变子空间。
见书34-37页，要求相空间及零空间的基即对线性变
换在自然基下的矩阵做初
等行变换。
然后观察可得。
解：（1）求T 在下的矩阵。
解：基23
1,,,t t t ，因为
所以T 在基2
31,,,t t t 下的矩
阵1010010110100101A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。
因此231,t t t --是()R T 的
基，23
1+,+t t t 是()N T 的
基。
（3） 取 232
{1,1+}
U span t t t t =--， ,易见2321,1+t t t t --， 线性无关，因此
232
{1,1+}U span t t t t =--，是三维的，且
()=()T U R T U ⊂ ,因此U
是T 的一个三维不变子空间。
八(14分)、已知
321141123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,
（1）求A 的Jordan 标准型。
（2）求ln A .
本题为三阶矩阵，因此首先计算A的特征多项式，发现特征根为2和6，然后判断最小多项式，即可得到若当标准型。
见书72-75页。
求ln A的方法见书127页。
或者126页，或者123页。
解：
6
2
2 A
J
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭。