小学奥数平面几何五大定律
一、等积模型
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
① 等底等高的两个三角形面积相等
如图(1)：D 为BC 中点，则S△ABD=S△ACD 如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比
如图(2)： S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比
如图(3)：BC=EF ，则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形
如图(4)：l1平行于l2 ，则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1平行于l2
⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形)
⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底
相等，面积比等于它们的高之比
二、共角定理(鸟头定理)
两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形．
D B h A
B
D C h1 h2 l2 l2
B C
h1 F E D h2 B C D h
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
共角
互补角
图(1) 图(2)
如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A
如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)，
则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE
三、相似模型
数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。
相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。
相似符号：“∽”
相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C
a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
c
a
d
b
A
B C
D
E A
D
E F
C B D
E O
B
A
图(1)、图(1)、图(1)、图(1)四个三角相似，即△a ∽△b ∽△c ∽△d 沙漏模型中△ABO △∽△CDO ；金字模型中：△ABC ∽△ADE （1）相似三角形的一切对应线段(对应高线、对应中线、对应角平分线、外
接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（4）相似三角形内切圆、外接圆直径比、周长比等于相似比，内切圆、外
接圆面积比是相似比的平方。
（5）沙漏模型
① △ABO ∽△CDO
② 相似比=ABDC=AODO=BOCO ＝h1h2
③ S △ABOS △CDO=12AB ×h112CD ×h2=ABDC ×h1h2=AB2DC2=ABDC2=相似比2
（6）金字塔模型
① :△ADE ∽△ABC
② 相似比=ADAB=AEAC=DEBC=AFAG
③ S △ADES △ABC=12DE ×AF12BC ×AG=DEBC ×AFAG=AB2DC2=DEBC2=相似比2
C
O
B
D
A
沙漏模型
h1
h2
金字塔模型
A
D B
E G C
B
F
四、蝴蝶定理
任意凸四边形连接其对角线构成蝴蝶形；或任意两相交直线，分别连接
任意四边形蝴蝶定理：
① S1S2=S4S3 或者 S1×S3=S2×S4 ② AOCO=S1+S2S3+S4=S △ABDS △CBD 梯形蝴蝶定理：
① S1S3=相似比2=ab2=a2b2 或 s1:s3=a2:b2
② s1:s3:s2:s4=a2:b2:ab:ab 即S 1占梯形总面积a 2份，S 3占梯形
总 面积b 2，S2和S4占梯形总面积a ×b 份 ③ 梯形面积对应份数为 (a+b)2份
蝴蝶模型中构建了内部三角形这间的面积关系，同时还建立起了内部三角形面积与相交的两对角线之间的关系。
梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。
五、燕尾定理
在△ABC 内找一点O ，分别连接三个顶点，并延长交于底边如图1。
则 ：S △ABOS △ACO=BDCD ； S △BCOS △BAO=CFAF ； S △CBOS △CAO=BEAE
b
梯形中的蝶形
任意四边形
A
B
C
O
D
B
A O
D
F
E
图1(燕尾)
因为图的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．上述定理给出了一个转化面积比与线段比的手段，该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形内的三角形面积与对应底边之间提供互相联系的途径.。