模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC的面积.【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4),S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份，则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形等高模型与鸟头模型【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方图⑵【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形么三角形ABC的面积是多少？•/ EC =3AE--S A BC = 3S ABE又••• AB =5AD--S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,••• S ABC如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？•/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE又T BD =DC =4 ,--S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE ,【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积.【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S AABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】,所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ADE的面积等于1，那= 15S ADE =15 .【巩固】【解析】连接AD .【解析】【解析】 连接FB•三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的(3 2)= 6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 =48(平方厘米).【例4】已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE =CE, AD =2BD,CF =3AF ，求△ ABC 的面积.【解析】BDE ：S S BC =(BDBE) ：(BA BC)=(1 1):(2 3) =1:6 , S ^CEF : S ^ABC =(CECF) : (CB CA)=(13): (2 4) =3:8S ^ADF : S ^ABC = (AD AF ): (AB AC) = (2 1) : (3 4) =1:6设 S A ABC =24 份，则 S A BDE = 4 份，S ^ ADF =4 份，S ^ CEF = 9 份，S ^ DEF = 24 - 4- 4 - 9 = 7 份，恰好是 7 平方厘米，所以 S A ABC =24平方厘米如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE=2:5 , BC:CD=3:2，三角形BDE 的面积 是多少？由于.ABC • . DBE =180，所以可以用共角定理，设 AB = 2份，BC =3份，贝U BE = 5份，BD =3 2=5 份，由共角定理 S A ABC ： S A BDE =(AB BC):(BE BD)=(2 3):(5 5^ 6:25，设S A ABC =6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5=12.5平方厘米，三角 形BDE 的面积是12.5平方厘米【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE 」AC ,CF 」BC .33角形DEF 的面积为 ________ 平方厘米.【例5】 【解析】 DFA 'B【解析】由题意知AE =1 AC、CF =1BC，可得CE二？AC •根据”共角定理”可得，3 3 3S A CEF : S A ABC = (CF x CE): (CB x AC) =(1x2》(3x3) =2:9 ;而S A ABC =6沃6壬2 丄8 ;所以S A CEF =4 ;同理得，S A CDE : S A ACD = 2 ：3 ；, S A CDE =18-：-3 2 =12 , S A CDF =6故S A DEF=S A CEF■S A DEC-S A DFC = 4 1^6 =10(平方厘米)•ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB ;延长BC至E，使CE =2BC ;延长= 3AC，求三角形DEF的面积.(法1)本题是性质的反复使用.连接AE、CD •SABC1- ,S ABC - I ,S LDBC 1--S DBC =1•同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18 •(法2)用共角定理•••在ABC和LCFE中，.ACB与.FCE互补,.S JABC AC BC 1 汇1 1…S FCE FC CE _4 2 _8 •又S ABC =1，所以S FCE -8•同理可得ADF - 6 , §BDE =3•所以S LDE F = S_ABC ' S_FCE ' S ADF S BDE -1 8 6 '3=18 •【例8】如图，平行四边形ABCD , BE =AB , CF =2CB , GD =3DC , 面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】连接AC、BD •根据共角定理•••在△ABC和A BFE中，• ABC与・FBE互补, .S A ABC _ AB BC 二1 勺二1"S A FBE一BE BF 1 3 3 •又S A ABC ~1，所以S A FBE =3 • 冋理可得S A GCF =8 , S A DHG =15 , S A AEH =8 •【例7】如图，已知三角形CA至F，使AF【解析】HA二4AD，平行四边形ABCD的□=S A AEH S^ CFG S^ DHG S A BEF S ABCD =8 8 15+3+2 =36 .【解析】连接BD •由共角定理得S A BCD：S A CGF =(CD CB)： (CG CF) =1： 2，即S A CGF=2S A CDB冋理S A ABD : S A AHE =1： 2，即S A AHE =2 S A ABD所以S A AHE+S A CGF =2(S A CBD +S A人。

3)=22| 边形ABCD连接AC，冋理可以得到S A DHG'S A BEF =2S四边形ABCDS四边形EFGH - S\ AHESA CGF S A HDG S A BEF ' S四边形ABCD - 5S H边形ABCD所以S四边形ABCD=66一：一5 =13.2平方米AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若EFGH的面积是【解析】连接AC、BD .由于BE -2 AB , BF -2BC，于是S BEF =4S「ABC，冋理s HDG -4s ADC . 于是S B EF ■S.HDG =4S A BC 4S A DC =4 S ABCD .再由于AE =3AB , AH = 3AD，于是s AEH =9S.ABD，冋理S.CFG= 9s CBD .S AEH 'S.CFG =9S A BD 9S C BD =9S AB CD .S EFGH -S BEF'S.HDG'S A EH S C FG —S ABCD =4S ABCD *9S ABCD —S ABCD =12S ABCD =60 .1如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD =AB，延长BC至E，使CE =丄BC , F是AC的2 中点，若△ABC的面积是2，则A DEF的面积是多少?【解析】•••在A ABC和A CFE中，.ACB与.FCE互补,所以S ABCDS EFGH2 136【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米,的面积.EA = AB , CB =BF , DC =CG , HD =DA ,求四边形ABCD 所以S EFGH【例10】如图，将四边形ABCD的四条边四边形ABCD的面积为5，则四边形那么【例11】GS^ ABC AC BC 2 2 4S^ FCE FC CE 11 1又SABC=2，所以S FCE =0.5 .同理可得ADF =2 , BDE =3 .所以S A DEF = S A ABC S A CEF +S A DEB —S A ADF =2 0.5 3 —2 =3.5【例12】如图，S A ABC =1，BC=5BD , AC=4EC , DG=GS=SE, AF = FG •求S FGS【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况.4 3 2 1 1 1最后求得S A FGS的面积为S A FGS：5 4 3 2 2 10【例13】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米,三角形ABG的面积是多少平方厘米？【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形.假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4 2-1=7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角E是AD的中点, F是CE的中点，G是BF的中点, 比等于夹这个角的两边长度的乘积比”【解析】F H A ED1 49形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为丄，三角形DEF的面积为兰•6 64 3 12由于FA =4a , FB =3a，所以AAFB与三角形DEF的面积之比为—7 7 4912同理可知ABDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为，所以ABC的面积占三角形DEF面积4912 13 49 1313的1 一12 3 = 13，所以ABC的面积的面积为竺13•49 49 6 49 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边1 1 1 1 2形面积的1，所以虚线外图形的面积等于 1 3 •丄2 =3丄，所以五边形的面积是10-3」•6 6 3 3 31 2因为S A BCF二S A CDE二丄81 2 * * S =16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积4SAEF - 8 , Q EFG 二8, 再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到Q BFC =16 , S ABFE =32 ,SABF =24，所以S ABG - 12平方厘米.【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.。