凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十 相望，万百相当。满六以上，五在上方，六十积算， 五不单张。
２、古算特点： 讲求实用：为天文、经济、军事和文化需
要而产生并发展起来的。 机械化算法体系：计算为主，独创计算工
具“算筹”，促进了计算技术的发展，成为当 时世界最先进的数学成就。
构造性和可计算性。 著作形式。
术”，即按今有数据比例进行计算。
率：交换中等价物的数量 粟米之法：粟米五十，粝米三十，橰米二十 七…… 率即一组相关变量x1,……xn；x1’……xn’ 成立线性关系：xi’=kxi 则称每一个xi为一个率 今有术：所求数＝（所有数×所求率）/所有率
例：（本章第一问） 今有粟一斗，欲为粝，问得几何？ 答曰：为粝米六升
三、 《九章算术》
《九章算术》——集中了过去和当时的几乎全部数学 知识，以应用问题解法集成的题例编成，成书于公元 前1世纪前，是先秦至西汉中叶期间编篡。共246个问 题，分九章。
（一）方田章 讲平面图形的面积和边界的计算，还涉及分数及
其算法。
1、面积计算
方田术曰：广从步数相乘得积步 （“广”即“长”，“从”即 “宽”）
刘徽注：割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆合体而无所失也
见P79
2、分数理论
实如法而一，不满法者，以法命之 约分术曰：可半者半之，不可半者，由量
分母之数，以少减多，更相减损，求其 等也，以等数约之。 齐同术
刘徽注：凡母互乘谓之齐，群母相乘谓之 同，母同则子通
（二）粟米章 讲各种谷物之间的换算，主要用“今有
1、盖天说
西汉时期关于宇宙结构的学说。
给出四分历法（用润月调节四时气候的阴历 历法），一个回归年为365又1/4天。
2、分数运算
3、勾股定理
特例（西周初公元前１１世纪）：32+42=52 一般形式（公元前6～7世纪）：勾2+股2=弦2 最早的证明 公元３世纪赵爽（三国时期）在注《周髀
算经》时作“弦图”证明，运用了“出入相补 原理”（割补法）进行证明
方体的体积或球的体积出发，求田亩的边长、 长方体的边长或球径长。因此有世界上最早的 多位数开方的法则。
（五）商功章：商即商量、度量之意，商功就是度量 土土石方等的方法。本章讲多种体积算法。
（六）均输章：讲合理运输的数学问题，还有行程、 抽税、按等级分物等问题，内容较复杂，涉及比例、 复比、等差级数等知识。
术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率而法，实 如法而一。
注：“今有术”变形：所求数/所求率＝所有数/所有 率 即四项比例算法，此法传到欧洲称：“黄金算法”。 所 有术是解决比例问题的基础理论，刘徽称“此 都术也”
（三）衰分章
衰（cui)即有递减之意。衰分是按一定比 率分配的意思。
（四）少广章 截多补少之意，本章讲由田亩的面积、 长
重要贡献：创用一套缩写符号，使用
了特殊的记号表示未知数 。
KrrM0
表示方程 x3－5x2+8x －1=0 不足：解题方法上缺乏一般性。
帕波斯（约公元300—350年），数学评注家， 著作《数学汇编》（是希腊数学的安魂曲）
其他数学家： 尼马可修斯（公元100年左右），《算术入
门》，数论著作，采用“筛法”寻找质数。 梅内劳斯——《球面论》 希帕蒂娅——第一位杰出的女数学家。被基
（七）盈不足章：讲用过剩（盈）与不足近似值逐步 逼近求解方程的根，称为“盈不足术”，又称试位法 或双设法。中世纪传入欧洲后称为“契丹算法”，现 称弦位法。
（八）方程章：讲线性方程组的消元法，同时还引进 了负数，两者长期在世界上是首屈一指的。
（九）句股章：即勾股，讨论用勾股定理解应用问题。
督教暴徒残杀。
二 《周髀算经》
（一）古代背景
１、背景：我国在公元前两千多年前（大禹时 期）进入奴隶社会，于公元前400多年左右 （战国时期）进入封建社会，以后有几段太平 盛世，形成超稳定社会结构。生产力发展较快， 数学研究也处于较高水平。在萌芽期，水平与 古埃及、巴比伦相当，春秋战国至魏晋南北朝 时期数学可与古希腊媲美，中世纪宋元时期则 发展为一枝独秀。
3、补弧定理
A
已知弧BC的弦为BC，圆心角为 ，
则( 的弦)2+[(1800－)的弦]2=AB2
相当于sin2+cos2=1
C
B
4、托勒玫定理：圆内接四边形两对角线长的 乘积等于两对边乘积之和。
5、差弧定理
B
C
当圆内接四边形一边为直径时，
已知AB，AC，则可求出BC
A
D
由托勒玫定理有
墓志铭：童年占一生的1/6，此后过了一生 的1/12开始长胡子，再过一生的1/7后结婚， 婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲的一半 的年龄，孩子死后4年父亲也去世，问丢番 图活了多少岁？
主要代表作《算术》，以解不定方程而著 称。创用了一套缩写符号。
著名问题：将一个已知的平方数分为两个 平方数。（引出了费马大定理：xn+yn=zn 没有正整数解）
3、理论几何萌芽
《算经十书》——汉唐时期的数学 代表作。
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、 《孙子算经》、《张丘建算经》、《缉古算 经》、《数术记遗》、《五曹算经》、《五经 算术》、《夏侯阳算经》
（二）《周髀算经》——中国古代数学著作中 最早的一部。以盖天说为中心的天文学著作， 有许多数学知识。如以文字叙述了勾股算法， 还有许多属于分数乘、除法的实际问题，演算 水平相当高。
圭田术曰：半广以乘正从 刘徽注：半广者，以盈补虚得圭田也
如图，CD为高，取AD、 BD中点E、F，则面积 Ⅰ﹦Ⅰ′，Ⅱ﹦Ⅱ′
HC
G
Ⅰ’ Ⅱ’
注:证明可推广到一 般三角术曰：并两邪以半者,以乘正从者广 刘徽注：并而半之者,以盈补虚也
如图,求直角梯形的面积
圆田术曰：半周乘半径者也
AC·BD=AB·CD+BC·AD 由补弧定理,AB已知,由BD可求; 同理可求CD,ADO为直径,故BC可求
结论：∠ADC和∠ ADB所对弦已知， 差角∠ BDC所对弦可求，即两角差的 三角函数公式
6、托还求出相当于今天的半角、倍角及求 和公式，根据这些定理制作出了弦表。
丢番图（公元246——330年），代数学的 鼻祖。