第八讲 数列综合★★★高考在考什么 【考题回放】1.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．73. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于A ．122n +- B.3n C. 2n D.31n-【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1na +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n=，故选择答案C 。
4.设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ B ）A ．10B ．11C ．12D ．135. 已知正项数列{an}，其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn －1=an －12+5an －1+6(n≥2)，②由①－②得 10an=(an2－an －12)+6(an －an －1)，即(an+an －1)(an －an －1－5)=0 ∵an+an －1>0 ， ∴an －an －1=5 (n≥2)．当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n －3．6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2n a 各项的和为815.(I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n =，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.★★★高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、n nn a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出Sn 与an 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ★★ 突 破 重 难 点【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n nc a b =+，求数列{}n c 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式nS ．解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥）易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n nd a b =-，则11(2)2n n d d n -=≥． 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为112n n d -=． 由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1122n n a n =++， 求和得21122n n n S n =-+++．【变式】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n nS n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：1213a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1211122()42212n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++⨯+++===+++⨯＝2(1)1n n a n a +++，所以n a n=。
（Ⅱ）由n a n n b a p =，得nn b np =。
所以23123(1)n nn T p p p n p np -=++++-+，当1p =时，12n n T +=；当1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+，23111(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p pp npnp p -++--=+++++-=--即11,12(1),11n nn n p T p p np p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪-⎩。
（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}na 的前n 项和为nS ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）、设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S＝3n2－2n.当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝（3n2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故Tn ＝∑=ni ib 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）.因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f(x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f(x)的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-（n=1,2,……）（1）求,αβ的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ；（3）记lnn n n a b a aβ-=-（n=1,2,……），求数列{bn}的前n 项和Sn 。
解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f(x)=0的两个根()αβ>，∴αβ=；（2）'()21f x x =+，21115(21)(21)12442121n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++=5114(21)4212n n a a ++-+，∵11a =，∴有基本不等式可知20a >（当且仅当1a 时取等号），∴20a >同，样3a >，……，n a α>=（n=1,2,……）， （3）1()()(1)2121n n n n n n n n a a a a a a a a αββββα+----=--=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=，又11ln1b βα-===-2(2n n S =-【文】已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是的导数设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n =.(1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记lnn n n a b a βα-=-,(1,2,)n =.求数列{n b }的前n 项和nS ．解、(1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=(2) ()21f x x '=+221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++()()2222122111535151521221153515152n n n n n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ββαα++++⎛⎫+++++++ ⎪⎛⎫-+- ⎪==== ⎪--+--- ⎪⎝⎭++-++ ⎪∴12n nb b += 又1113515lnln 4ln 235a b a βα-++===-- ∴数列{}n b 是一个首项为154ln2+,公比为2的等比数列;∴()()154ln12152421ln 122n n n S +-+==--【变式】对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D ，经数列发生器输出x1＝f （x0）； ②若x1∉D ，则数列发生器结束工作；若x1∈D ，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f （x1），并依此规律继续下去．现定义f （x ）=124+-x x ．（Ⅰ）若输入x0＝6549，则由数列发生器产生数列｛xn ｝．请写出数列｛xn ｝的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn ｝满足：对任意正整数n,均有xn ＜xn ＋1，求x0的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域D ＝（－∞－1）∪（－1，＋∞）∴数列｛xn ｝只有三项x1＝1911，x2＝51，x3＝－1（Ⅱ）∵f （x ）＝124+-x x ＝x 即x2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2即x0＝1或2时，xn ＋1＝124+-nn x x ＝xn ，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn ＝2（n ∈N ）（Ⅲ）解不等式x ＜124+-x x ，得x ＜－1或1＜x ＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2对于函数f （x ）＝164124+-=+-x x x 。