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(完整word版)高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题例 已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-(114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅,所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-L =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

例 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,*n N ∈,其中k 是常数.(I ) 求1a 及n a ;(II )若对于任意的*m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值. 解(Ⅰ)当1,111+===k S a n ,12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*)经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (Ⅱ)m m m a a a 42,,Θ成等比数列,m m m a a a 422.=∴,即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk , 对任意的*∈N m 成立, 10==∴k k 或例 等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列 (1)求{n a }的公比q ;(2)求1a -3a =3,求n s 解:(Ⅰ)依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ,故 022=+q q又0≠q ,从而21-=q 5分 (Ⅱ)由已知可得321211=--)(a a 故41=a从而))(()())((n nn 211382112114--=----=S 10分 例 已知数列{}n a 满足, *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’+2==.()I 令1n n n b a a +=-,证明:{}n b 是等比数列;(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

(1)证1211,b a a =-= 当2n ≥时,1111,11()222n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项,12-为公比的等比数列。

(2)解由(1)知111(),2n n n n b a a -+=-=-当2n ≥时,121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L 21111()()22n -=++-++-L111()2111()2n ---=+--2211[1()]32n -=+--1521(),332n -=--当1n =时,111521()1332a ---==。

所以1*521()()332n n a n N -=--∈。

例 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21nn n ba b S -=-(Ⅰ)证明:当2b =时,{}12n n a n --⋅是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式解 由题意知12a =,且()21nn n ba b S -=-()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ①(Ⅰ)当2b =时,由①知122nn n a a +=+于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠,所以{}12n n a n --⋅是首项为1,公比为2的等比数列。

(Ⅱ)当2b =时,由(Ⅰ)知1122n n n a n ---⋅=,即()112n n a n -=+当2b ≠时,由由①得1111122222n n n n n a ba b b+++-⋅=+-⋅-- 22n n bba b=-⋅-122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫-⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭()212nb b b-=⋅-得()121122222n n n n a b b n b-=⎧⎪=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩ 例 在数列{}n a 中,11111,(1)2n n n n a a a n ++==++, (I )设nn a b n=,求数列{}n b 的通项公式; (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 解:(I )由已知有1112n n n a a n n +=++112n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-(*n N ∈) (II )由(I )知122n n n a n -=-, ∴n S =11(2)2nk k k k -=-∑111(2)2n nk k k kk -===-∑∑而1(2)(1)nk k n n ==+∑,又112nk k k-=∑是一个典型的错位相减法模型, 易得1112422nk n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 例 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11=a ,且3231=++n n S a (n 为正整数)(Ⅰ)求出数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n ,n S k ≤恒成立,求实数k 的最大值. 解:(Ⅰ)Θ3231=++n n S a , ① ∴ 当2≥n 时,3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②,得02331=+-+n n n a a a . 311=∴+n n a a )2(≥n .又 11=a Θ,32312=+a a ,解得 312=a . ∴ 数列{}n a 是首项为1,公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a (n 为正整数)(Ⅱ)由(Ⅰ)知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴n n S )31(123 由题意可知,对于任意的正整数n ,恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-≤nk 31123,. Θ 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-n311单调递增, 当1=n 时,数列中的最小项为32,∴ 必有1≤k ,即实数k 的最大值为1例 各项均为正数的数列{}n a 中,n S a ,11=是数列{}n a 的前n 项和,对任意*∈N n ,有)(222R p p pa pa S n n n ∈-+=;⑴求常数p 的值; ⑵求数列{}n a 的通项公式; ⑶记n nn n S b 234⋅+=,求数列{}n b 的前n 项和T 。

解:(1)由11=a 及)(222*∈-+=N n p pa pa S n n n ,得:p p p -+=22 1=∴p (2)由1222-+=n n n a a S ① 得1221211-+=+++n n n a a S ② 由②—①,得 )()(2212211n n n n n a a a a a -+-=+++ 即:0)())((2111=+--++++n n n n n n a a a a a a 0)122)((11=--+∴++n n n n a a a a由于数列{}n a 各项均为正数, 1221=-∴+n n a a 即 211=-+n n a a ∴数列{}n a 是首项为1,公差为21的等差数列, ∴数列{}n a 的通项公式是 2121)1(1+=⨯-+=n n a n(3)由21+=n a n ,得:4)3(+=n n S n n n n n n n S b 2234⋅=⋅+=∴ n n n T 223222132⋅++⨯+⨯+⨯=∴ΛΛ13222)1(2222+⨯+⨯-++++=⋅n n n n n T ΛΛ22)1(221)21(22222211132-⋅--=⨯---=⋅-++++=-+++n n n n n n n n n T ΛΛ1(1)22n n T n +=-⋅+例 在数列{}).,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a a n n n n 且中,(1)的值;求32,a a (2)设{}是等差数列;证明:n nn n b N n a b ),(23*∈+=(3)求数列{}..n n S n a 项和的前 解(1)),,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a nn n 且Θ1322212=++=∴a a.13322323=++=a a(2)对于任意,*∈N n ()[]3221232311111--=+-+=-+++++n n n n n n n n n a a a a b b Θ =()[]13322111=-+++n n ,∴数列{}n b 是首项为0233231=+-=+a ,公差为1的等差数列. (3)由(2)得,,1)1(023⨯-+=+n a nn ).(32)1(*∈-⋅-=∴N n n a n n()[]321)322()321(332-⋅-++-⨯+-⨯+-=∴nn n S Λ, 即().321232221432n n S nn -⋅-++⨯+⨯+⨯=Λ 设(),21232221432nn n T ⋅-++⨯+⨯+⨯=Λ 则(),2123222121543+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T Λ两式相减得,()1432212222+⋅--++++=-n n n n T Λ,2)1(21)21(411+-⋅----=n n n 整理得,,2)2(41+⋅-+=n n n T从而).(32)2(41*+∈-⋅-+=N n n n S n n例 已知数列{}n a 的首项211=a ,前n 项和n n a n S 2=. (Ⅰ)求证:n n a n na 21+=+; (Ⅱ)记n n S b ln =,n T 为{}n b 的前n 项和,求n e n T--的值. 解:(1)由n n a n S 2=①,得121)1(+++=n n a n S ②,②-①得:n n a n na 21+=+.(2)由n n a n na 21+=+求得)1(1+=n n a n .∴12+==n na n S n n ,)1ln(ln ln +-==n n Sb n n (ln1ln 2)(ln 2ln 3)(ln 3ln 4)(ln ln(1))ln(1)n T n n n =-+-+-++-+=-+L∴1)1ln(=-=-+-n e n e n T n .例 等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列 (1)求{n a }的公比q ;(2)求1a -3a =3,求n s 解:(Ⅰ)依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ,故022=+q q又0≠q ,从而21-=q(Ⅱ)由已知可得321211=--)(a a故41=a从而))(()())((n nn 211382112114--=----=S例 已知{n a }是公比为q 的等比数列,且12,,++m m m a a a 成等差数列.(1)求q 的值;(2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列?说明理由.解:(1)依题意,得2a m+2 = a m+1 + a m∴2a 1q m+1 = a 1q m + a 1q m – 1在等比数列{a n }中,a 1≠0,q ≠0,∴2q 2 = q +1,解得q = 1或21-. (2)若q = 1, S m + S m+1 = ma 1 + (m+1) a 1=(2m+1) a 1,S m + 2 = (m+2) a 1∵a 1≠0,∴2S m+2≠S m + S m+1若q =21-,S m + 1 =m 2m )21(6132)21(1)21(1-⋅-=----+S m + S m+1 = )21(1)21(1)21(1)21(11m m ----+----+])21()21[(32341m m +-+--==m )21(3134--∴2 S m+2 = S m + S m+1故当q = 1时,S m , S m+2 , S m+1不成等差数列; 当q =21-时,S m , S m+2 , S m+1成等差数列.例6 已知数列{}n a 中,0122,3,6a a a ===,且对3n ≥时有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-.(Ⅰ)设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ,证明数列1{2}n n b b +-为等比数列,并求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ,求数列{}n na 的前n 项和n S(Ⅰ) 证明:由条件,得112234[(1)]4[(2)]n n n n n n a na a n a a n a ------=-----,则1112(1)4[]4[(1)]n n n n n n a n a a na a n a +----+=----. 即111244.1,0n n n b b b b b +-=-==又,所以1122(2)n n n n b b b b +--=-,21220b b -=-≠.所以1{2}n n b b +-是首项为-2,公比为2的等比数列. 2122b b -=-,所以112122(2)2n n n n b b b b -+-=-=-.两边同除以12n +,可得111222n n n n b b ++-=-. 于是2n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以12首项,-12为公差的等差数列. 所以11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得. (Ⅱ)111122(2)n n n n n n a na n n a -----=-=-,令2n n nc a =-,则1n n c nc -=.而111 (1)21(1)21n c c n n c n n =∴=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅L L ,. ∴(1)212n n a n n =-⋅⋅⋅+L .(1)212(1)!!2n n n na n n n n n n n =⋅⋅-⋅⋅⋅+=+-+⋅L ,∴2(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)n n S n n n =-+-+++-+⨯+⨯++⨯L L . 令T n =212222n n ⨯+⨯++⨯L ,①则2T n =2311222(1)22n n n n +⨯+⨯++-⨯+⨯L . ②①-②,得-T n =212222n n n ++++-⨯L ,T n =1(1)22n n +-+.∴1(1)!(1)21n n S n n +=++-+. 例7 已知数列{}n a 满足115a =,且当1n >,*n ∈N 时,有112112n n n n a a a a --+=-(1)求证:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (2)试问12a a 是否为数列{}n a 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由. 证明:(1)由112112n n n na a a a --+=-得()()111221n n n n a a a a ---=+ 即114n n n n a a a a ---= 上式两边同时除以1n n a a -得()11141n n n a a --=> 又115a =,1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5,公差为4的等差数列 (2)又(1)知()1541n n a =+-,即141n a n =+ ∴ 219a =, 12145a a =令114145n a n ==+, 解得11n = 所以 12a a 是数列{}n a 的第11项例8 设数列{}{},n n a b 满足111,0a b ==且1123,1,2,3,2,n n n n n n a a b n b a b ++=+⎧=⎨=+⎩L L(Ⅰ)求λ的值,使得数列{}n n a b λ+为等比数列; (Ⅱ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅲ)令数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和nS ',求极限lim nn nS S →∞'的值.(Ⅰ)令n n n c a b λ=+,其中λ为常数,若{}n c 为等比数列,则存在0q ≠使得111()n n n n n c a b q a b λλ+++=+=+.又1123(2)n n n n n n a b a b a b λλ+++=+++(2)(32)n n a b λλ=+++. 所以()(2)(32)n n n n q a b a b λλλ+=+++. 由此得(2)(32)0,1,2,3,n n q a q b n λλλ+-++-==L由111,0a b ==及已知递推式可求得222,1a b ==,把它们代入上式后得方程组20,320q q λλλ+-=⎧⎨+-=⎩ 消去q解得λ=下面验证当λ={}n n a +为等比数列.11(2(3(2)n n n n n n a a b a ++=++= (1,2,3,)n =L ,1110a =≠,从而{}n n a +是公比为2的等比数列.同理可知{}n n a是公比为2的等比数列,于是λ=(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果得1(2n n n a -=,1(2n n n a -=,解得((111222n n n a --⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,((11226n n nb --⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦.(Ⅲ)令数列{}n d的通项公式为1(2n n d -=,它是公比为2p =的等比数列,令其前n 项和为n P ;令数列{}n e的通项公式为1(2n n e -=,它是公比为2p '=其前n 项和为n P '. 由第(Ⅱ)问得1()2n n n S P P '=+,)n n n S P P ''=-.11n n n n nnn n nnP S P P P P S P P P '+'+=='''--. 由于数列{}n e的公比021<-,则lim n n P →∞'=.111()()1111()1n n n n n p p pP p p---==--,由于12p ==-1lim 0n n P →∞=,于是lim0n n n P P →∞'=,所以lim n n nSS →∞='例9 数列{}n a 的各项均为正数,n S 为其前n 项和,对于任意*N n ∈,总有2,,n n n a S a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且2ln nn n a x b =,求证:对任意实数(]e x ,1∈(e 是常数,e =2.71828⋅⋅⋅)和任意正整数n ,总有n T < 2;(Ⅲ) 正数数列{}n c 中,())(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.(Ⅰ)解:由已知:对于*N n ∈,总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ (n ≥ 2)② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数,∴11=--n n a a (n ≥ 2) ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时,21112S a a =+, 解得1a =1 ∴n a n =.(*N n ∈)(Ⅱ)证明:∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ,总有2ln nn n a x b =≤21n. ∴()n n n T n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤ΛΛ21211131212111<-=--++-+-+=nn n Λ (Ⅲ)解:由已知 221212=⇒==c c a ,54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>>猜想 n ≥2 时,{}n c 是递减数列.令()()22ln 1ln 1,ln xxx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ,即则时,∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数. 由()11ln ln 11++==++n n c c a n n nn 知.∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列.又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .例10 设{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足222223457,7a a a a S +=+=。

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