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高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比(Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析:(1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=-∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121,2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -=∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2n n n n n T n n n n -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪-≥∈⎪⎩**N N2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ;(Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a解得:,73=a 同理得.1,312==a a(2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列; 112)1(1-⋅++∴n n a a ;,21n n a =+∴.12-=∴n n a 为所求通项公式(3)12-=n n a Θ123......n n S a a a a ∴=++++123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-123(222......2)nn =++++-n n ---=21)21(2.221n n --=+3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有12a =,11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥(1)求数列n a 的通项公式;(2)若(21)n n b n a =-,求数列n a 的前n 项的和n T 。

解:由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥,12n n a a -∴=,又12a =Q ,112n n a a -=, {}n a ∴是以2为首项,12为公比的等比数列,122112()()222n n n n a ---∴=⨯== 2(21)2n n b n -=-,1012123252(21)2n n T n --∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L L (1)012111232(23)2(21)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⋅+-⋅L L (2) (1)—(2)得0121122(222)(21)22n n n T n ---=++++--⋅L L 即:1111112[1(2)]2(21)26(23)2212n n n n T n n ------=+--⋅=-+⋅- ,212(23)2n n T n -∴=-+⋅4.已知数列{n a }满足11=a ,且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且.(Ⅰ)求2a ,3a ;(Ⅱ)证明数列{nn a 2}是等差数列; (Ⅲ)求数列{n a }的前n 项之和n S解:(Ⅰ)622212=+=a a ,2022323=+=a a .(Ⅱ)),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且Θ, ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且, 即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且. ∴数列}2{nn a 是首项为21211=a ,公差为1=d 的等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ∴n n n a 2)21(⋅-=. )2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S ΛΛΘ1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S Λ得 12)21(2222132-⋅--++++=+n n n Λ12)21(21)21(21-⋅----=+n n n 32)23(-⋅-=n n . ∴32)32(+⋅-=n n n S .5.已知数列{}n a 满足31=a ,1211-=--n n n a a a .(1)求2a ,3a ,4a ;(2)求证:数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列,并写出{}n a 的一个通项。

解: (1)79,57,35432===a a a (2)证明:由题设可知N n a a n n ∈≠≠,10且1211-=--n n n a a a Θ()()()()111111--=---⇒--n n n n a a a a 111111=---⇒-n n a a⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴11n a 是以21为首项,1为公差的等差数列 故2112111-=-+=-n n a n 12121122-+=+-=∴n n n a n 6.数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N(Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ;(Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和n T解:(Ⅰ)12n n a S +=Q ,12n n n S S S +∴-=,13n nS S +∴= 又111S a ==Q ,∴数列{}n S 是首项为1,公比为3的等比数列,1*3()n n S n -=∈N当2n ≥时,21223(2)n n n a S n --==g≥, 21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩g, ,,≥. (Ⅱ)12323n n T a a a na =++++L ,当1n =时,11T =;当2n ≥时,0121436323n n T n -=++++gg L g ,…………① 12133436323n n T n -=++++g g L g ,………………………② -①②得:12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-L g 213(13)222313n n n ---=+--g g 11(12)3n n -=-+-g 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==Q 也满足上式, 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥7.22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证:⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列;⑵n a n n 221-=+;⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 解: ⑴ )2(221+=++n n b b 2221=++∴+n n b b 2121=-=a a b 62222=+=b b 数列{b n +2}是首项为4公比为2的等比数列;⑵由⑴知 112242+-=⨯=+n n n b 221-=∴+n n b 2211-=-++n n n a a22212-=-∴a a22323-=-a a……221-=--n n n a a上列(n-1)式子累加:n a n n 2)222(232-+++=-Λn a n n 221-=∴+ ⑶2)1(2)222(13221+-+++=++++n n a a a n n ΛΛ. 4)1(2221-+-=+++∴+n n a a a n n Λ8.已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60,且2116a a a 和为 的等比中项.(1)求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前;(2)若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列}{n a 的公差为d ,则⎩⎨⎧+=+=+21111)5()20(,60156d a d a a d a 解得⎩⎨⎧==.5,21a d32+=∴n a n . )4(2)325(+=++=n n n n S n (2)由).,2(,111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n112211121112,()()()(1)(14)3(2).3,n n n n n n n n b b b b b b b b a a a b n n n n b -----≥=-+-++-+=++++=--++=+=L L 当时对也适合))(2(*∈+=∴N n n n b n ).211(21)2(11+-=+=∴n n n n b n )211123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n Λ )2)(1(4532+++=n n n n9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,123,22a a ==,且113210n n n S S S +--++=,其中*2,n n N ≥∈.① 求证数列{}1n a -是等比数列;② 求数列{}n a 的前n 项和n S .解:①Q 113210n n n S S S +--++=⇒112()1n n n n S S S S +--=-- ⇒121(2)n n a a n +=-≥ 又123,22a a ==也满足上式,∴*121()n n a a n N +=-∈⇒112(1)n n a a +-=-(*n N ∈) ∴数列{}1n a -是公比为2,首项为1112a -=的等比数列 (2)由①,1211222n n n a ---=⨯=221n n a -⇒=+ 于是12...n n S a a a =+++()()()()1012212121...21n --=++++++++ ()1012222...2n n --=++++212n n -=+10.已知n S 是数列{n a }的前n 项和,并且1a =1,对任意正整数n ,241+=+n n a S ;设Λ,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ).(I )证明数列}{n b 是等比数列,并求}{n b 的通项公式;(II )设}log log 1{,32212++⋅=n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和,求n T . 解析:(I )),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n Θ两式相减:),2(4411≥-=-+n a a a n n n *),(2)2(2,2)(42,2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+ ,21=∴+nn b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列, ,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而Θ*)(231N n b n n ∈⋅=∴-(II ),231-==n n n b C ,)1(12log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n n n n 而,111)1(1+-=+n n n n .111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n Λ。

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