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3. Jiang & Shu 的五阶WENO格式
守恒型；目 前使用的WENO格式均为守恒型 针对方程：
u f (u ) 0, x x f (u) au, a 0 (1)
模板2 模板1 模板3
构造差分格式如下：
f WENO x ( f jWENO f WENO ) / x 1 / 2 j 1 / 2
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2. WENO格式的原理描述
注： 为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采 用下一节介绍的守恒形式
考虑线性单波方程：
u u a 0 x x (1)
a0
计算
u x
j
（1） 确定网格基架点： 6个点 {j-3 , j-2,j-1,j,j+1,j+2} 构造出该基架点上的目标差分格式 这6个点可构造5阶迎风差分：
k
Ck ( IS k ) p
特点： 间断区权重很小 光滑区，趋近于理想权重
（3.4） 给出最终的差分逼近
光滑区逼近 1 间断区 x
2
2u x 2
O（1）量级 量级，很大
j
u j 1u j
(1)
2u j
( 2)
3u j
( 3)
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IS (1)
（3.3） 给出实际权重
k k 1 2 3
IS ( 2 )
1 2u (u j 3 4u j 2 5u j 1 2u j ) 2 O(x 2 ) x 2 x j 1 2u (u j 1 2u j 2u j 1 ) 2 O(x 2 ) x 2 x j
u n 1 u n a(u j 1 u j ) [ j j j
TVD
单调
保单调
a(1 a)
2
(u j 1 u j )]
二阶精度区
TVD区
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二阶精度TVD区（二 者交集）
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§ 8.1 WENO格式 —— 高精度的激波捕捉法 1. 基本思路
仍利用程序coeff-schemes.f求系数
H (j3)1 / 2 1 / 3 f j 5 / 6 f j 1 1 / 6 f j 2
k k 1 2 3
k
实际 权重
Ck , ( IS k ) p
k 1,2,3
C1 1 / 10, C 2 6 / 10, C3 3 / 10
光滑度量因子
理想权重
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光滑度量因子的计算 （Jiang & Shu）
，
IS k

l 1
2
x j 1 / 2
x
2 l 1
x j 1 / 2
l (qk ) 2 dx l x
ISk x [ qk ( x)]2 dx x 3 x j 1 / 2 x
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知识回顾
1. Roe 格式—— 准确特征方向的守恒型格式
标量方程的情况：
u f (u ) 0 t x
f 1 ( f jn1 / 2 f jn1 / 2 ) x j x
n
平均 斜率
f (u n1 ) f (u n ) j j u n1 u n j j
模板2 模板3
利用这三个模板的基架点，可构造出 逼近 u j 的3阶精度差分格式
u j u j u j
(1) ( ( ( a1(1) u j 3 a21) u j 2 a31) u j 1 a41) u j ( ( ( a1( 2 ) u j 2 a22 ) u j 1 a32 ) u j a42 ) u j 1 ( ( ( a1( 3) u j 1 a23) u j a33) u j 1 a43) u j 2 ( 2)
计算流体力学讲义

第八讲 差分方法（4）
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点： 高精度激波捕捉格式——WENO 激波捕捉方法—— Godnov,MUSCL 常用的隐式处理方法——LU-SGS
讲义、课件上传至 (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理” 讲课录像及课件上传至网盘 /browse.aspx/.Public
1 1 f jn1/ 2 [ f jn f jn1 ] a n1/ 2 (u n1 u n ) j j j 2 2
a
n j 1 / 2
f (u n1 ) f (u n ) j j , a(u j 1 , u j ) u n1 u n j j a (u n ) j
构造方法与前文相同 （但注意这里构造的是通量， 而前文是直接构造差分格式） 针对整个网格基，构造出5阶精度的通量（理想情 1 况下的通量） f j 1/ 2 60 (2 f j 2 13 f j 1 47 f j 27 f j 1 3 f j 2 ) 并构造出每个模板上的通量，计算出理想权重。
平均斜率
双曲守恒方程组的Roe 格式
U f (U) 0 t x
f 1 ˆ (f j 1/ 2 f j 1 / 2 ) f j 1 / 2 f (U j 1 , U j ) x j x 1 1 ~ f j 1/ 2 [f(U j 1 ) f(U j )] A (U j 1 U j ) 2 2
u ( L u L R u R ) /( L R ) H ( L H L R H R ) /( L R )
Roe 平均
含义： 点 U 处的瞬时增长率刚好为区间
U , U 上的平均增长率
j j 1
2. TVD 格式 概念： 网格Reynolds数 Re x Rex 单调格式、保单调格式及TVD格式 Harten定理： 正系数原则 TVD格式= 1阶迎风+ *（LW格式-1阶迎风）
( ( ( a1(1) u j 3 a21) u j 2 a31) u j 1 a41) u j ( ( ( a1( 2 ) u j 2 a22 ) u j 1 a32 ) u j a42 ) u j 1 ( ( ( a1( 3) u j 1 a23) u j a33) u j 1 a43) u j 2
实际上，还可利用分辨率优化技术，可构造出新的目标 格式（降低精度、提高分辨率，见第4讲）。目前大量 WENO的优化版做这种工作。 Copyright by Li Xinliang 6
(2)
(2) 将这6个基架点分割成3个组（称为模板） 每个组独立计算 u j 的差分逼近 模板1： {j-3,j-2,j-1,j} 模板2： {j-2,j-1,j,j+1} 模板3： {j-1,j,j+1,j+2}
j
1) 2 3) f WENO 1 f j(1/ 2 2 f j(1)/ 2 3 f j(1/ 2 j 1 / 2
H (j1)1 / 2 1/ 3 f j 2 7 / 6 f j 1 11 / 6 f j
) H (j 21 / 2 1 / 6 f j 1 5 / 6 f j 1 / 3 f j 1

x j 1 / 2

2 [ 2 qk ( x)]2 dx x j 1 / 2 x
x j 1 / 2
k=1
k=2
k=3
其中：
qk (x) 是使用模板k x 得到的插值函数
(k ) j
代入
q1 ( x)
1 qk ( x) f j ( x x j ) f j( k ) ( x x j ) 2 f j( k ) 2
~ A S 1 Λ S
~ A(U R , U L )
ˆ f (U j 1 , U j )
ˆ 经常记为 f (U R , U L )
~ A S 1 ΛS
~ f(U j 1 ) f(U j ) A(U j 1 U j )
~ A A( U)
平均增长率矩阵
[( L R ) / 2]2
(2)
( 2)
u j
( 3)
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（3.2） 度量每个模板内函数的光滑程度
IS ( k ) f (u j )
(k )
u
j
(k )
：第k个模板
IS越大，表示越不光滑。 光滑区，不同模板上的IS趋近同一值。 构造IS方法很多， 例如： 具体形式见下一节。
uj a1u j 3 a2u j 2 a3u j 1a4u j a5u j 1 a6u j 2 (2)
该格式为WENO 的“目标”格式， 即， 光滑区WENO 逼近于该格式。
利用Taylor展开，可唯一确定系数 （可利用小程序coeff-schemes.f )
uj (2u j 3 15u j 2 60u j 120u j 30u j 1 3u j 2 ) /(60x)
(2u j 3 9u j 2 18u j 1 11u j ) /( 6x)
……
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（3） 对这3个差分值进行加权平均，得到总的差分值
u j 1u j
(1)
2u j
( 2)
3u j
( 3)
原则： A. 模板内函数越光滑，则权重越大； 模板内有 间断时，权重趋于0 B. 三个模拟内函数都光滑时，这三个三阶精度 的逼近式可组合成一个五阶精度的逼近式。 （3.1） 确定理想权重 令： u j C1u j 容易解出：