x
f
j
0
t
x
f cu, c c c / 2
f f f , c c c
un1 j

u
n j

t x
fˆjn1 2 fˆjn1 2
fˆjn1
2

1 2

f
u
n j
f
un j 1

u u
α u g x
n
α1

x

u n

α2 xu
hx
边界附近的差分可能要用到边界之外的节点 如果不降低精度，需采用不同的差分格式
四次多项式插值：
边界导数差分格式
FDS：
内部节点三次插值：
离散后的代数方程
有限差分
微分方程
代数方程Biblioteka ru ¶f j ¶x离散后的代数方程
结构网格：
有限体积离散的四条基本原则
代数方程求解
非稳态问题求解
NS方程求解
复杂几何流场
湍流模型
可压缩流
边界条件
效率，并行计算
计算不确定度
——误差分析
Fluent时间步长设定：Courant number
Define -> Models -> Solver... , Density based Solve -> Controls -> Solution...
un j 1

σ
un j 1

un j 1

σ ct / x
Leap-Frog
u n1 j

u
n1 j

f
n j 1

fn j 1
0,
(f cu)
2t
2x
Lax-Wandrof
u n1 j

u nj
c
t x
un j 1

u
n j 1
2

1 2

t x
2

δxcδxcu j
经典差分格式及其性质
Beam-Warming 流通矢量分裂
Roe格式
un1 j

u
n j
ct
3u
n j

4u
n j 1
2x

u
n j2
c2
t
2
u
n j

2u
n j 1

un j2
2
x 2
u n1 i

u
n j


x
f
j
均匀网格二分加密：
rt
=
ìïïïïïïïíïïïïïïïïî
(Dx ) 2h
(Dx ) h
(Dx )2 2h
(Dx )2 h
= =
2, 4,
一阶格式
CDS(二阶)
rt = 9 rt = 9 r = 16
t
二阶导数差分格式构造方法
对一阶导数差分
二阶导数差分格式构造方法
Taylor级数展开：量 ，
有限体积法基本思想
保证守恒性
Wellconditioned
数值积分 代数方程
nodes centered in CVs
CV faces centered between nodes
面积分计算
面积分计算
面积分计算
两步近似
数值积分 被积函数近似：插值
数值积分方法：
中值公式：
梯形公式：
Simpson公式：
二阶精度 二阶精度
四阶精度
数值积分误差估计
中值公式：
M
f
b a f
a b 2
梯形公式： T f b a f a f b
2
Simpson公式：
S
f
ba
6

f
a 4f
a
b 2
数值（虚假）扩散
线性插值（CDS）
二阶精度
最简单的二阶精度格式 等价于有限差分方法中一阶导数的中心差分(CDS) 振荡解
解决方法：1、推迟更新 2、Gradient limiters:面上的解不超过相邻单元值。
Fluent中的CDS
pressure-based solver only
董f , D x ? 动f , D x ?
误差均匀分布
节点数给定，非均匀网格可使误差降到最小 ：网格自适应
非均匀网格：加密与截断误差
CDS：
一阶
CDS均匀网格：
Dx2
6
二阶
对非均匀网格进行系统加密可以
达到与均匀网格同样的收敛速度：O (Dx 2)
非均匀网格：加密与截断误差
加密方法
简单二分法 固定增长因子
QUICK格式
三阶精度
Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics)
与中值积分联用，总精度为二阶，比CDS稍好
Fluent中二阶迎风与QUICK格式
二阶迎风(上游两点线性插值)
QUICK格式
CDS与二阶迎风的加权平均； 四边形（2D）、六面体（3D） θ随流场可变 pressure-based solver


f
b
体积分计算
二阶精度 四阶精度
九点插值
均匀网格
Fluent中的积分计算
二阶精度的中值公式
面函数近似：插值（离散格式）
迎风格式（UDS） 二阶迎风 线性插值（CDS，中心差分格式） QUICK格式 乘方格式 三阶MUSCL格式
迎风格式（UDS）
唯一的无振荡格式 数值耗散大： 一阶精度
Monotone Upstream-Centered Schemes for Conservation Laws
CDS与二阶UDS的混合 可用于任意网格 对解没有限制，在间断面附近会产生振荡
Fluent中的修正HRIC格式
High Resolution Interface Capturing VOF多相流 迎风与逆风格式的非线性混合
计算流体力学
CFD基本要素
数学模型 离散方法 坐标系 计算网格 有限近似 求解方法 收敛准则
CFD方法性质
方程的相容性(Consistency) 数值算法的稳定性 解的收敛性
Lax等价定理
守恒性 有界性 模型的可实现性 精度
模型误差、离散误差、迭代误差
一阶
二阶导数差分格式构造方法
多项式插值
三点二次多项式插值：
格式精度等于插值次数减一 偶数次插值、均匀网格：精度加一
五点四次多项式插值：
二阶导数差分格式
扩散项处理：
高精度格式
高精度格式需要更多节点 方程更难求解 边界条件更难处理 二阶格式常用
耗散与色散
耗散
数值扩散系数ν数
Fluent中离散格式设定
高阶格式
高阶离散格式只有与积 分精度相匹配才有意义
只有在足够细的网格上 才有相应的高精度
系统加密
Fluent中的乘方(Power-law)格式
精确解
|Pe|>1,ϕ=ϕu |Pe|=0,ϕ=aϕu+ bϕd 0<|Pe|<1,精确解的乘
方近似
Fluent中的三阶MUSCL格式
计算网格单元与节点存储
代数方程组
合适的节点排序
稀疏矩阵 带矩阵
离散误差
微分方程真实解 离散方程真实解
线性问题：
截断误差 离散误差
离散误差估计与Richardson外插
网格足够细 单调收敛
Richardson外插: f R = f + ed
h
h
h
: O (hr ), r > p
有限体积法

1 2
an j1 2
un j 1

u
n j
f
a j1
2


u j1 f u j u j1 u j
, u j1 u j 0
a u j ,
u j1 u j 0
经典差分格式性质比较
，精确解
u0, u
1
u0
FTBS
非均匀网格：加密与截断误差
( ) r º et 2h
( ) t
e
th
非均匀网格CDS (一阶)收敛速度：
ìïïíïïî
= >
4, 4,
re = 1 re ? 1
对非均匀网格进行系统加密可以
均匀网格：
rt
=
ìïïïïïïïíïïïïïïïïî
(Dx )2 2h
(Dx )2 h
(Dx ) 2h
(Dx ) h
LES
抑制振荡
Bounded Central Differencing Scheme
混合CDS和UDS 消除振荡，LES的默认格式
线性插值（CDS）：面导数近似
一阶精度
e在P、E中点时为二阶精度 网格加密时收敛速度为二阶
Fluen中网格面上的导数（扩散项）近似 都采用CDS，二阶精度
耗散只存在于对流项的一阶离散格式 正比于网格步长
网格Peclet数与网格Reynolds数
数值扩散系数ν数
数值耗散不能大于物理耗散： 或