主题 1 双曲线的定义与名词介绍
例题 1 双曲线的定义
如右图，在方格纸中有两组同心圆，圆心分别 为 F1 与 F2，若 P 点在以 F1，F2 为焦点的双曲 在线，试问 A，B，C，D，E 五点中，哪些点 亦在此双曲线上？
解■ ∵ PF1＝2， PF2 ＝3 ∴︱PF1－PF2︱＝1 而︱AF1－AF2︱＝2 ，︱BF1－BF2︱＝3 ，︱CF1－CF2︱＝1 ︱DF1－DF2︱＝1 ，︱EF1－EF2︱＝0 ∴︱PF1－PF2︱＝︱CF1－CF2︱＝︱DF1－DF2︱＝1 故 P，C，D 三点位于同一双曲线上
而 b2＝c2－a2＝22－12＝3 得双曲线方程式为 x2 － y2 ＝1
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例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）
(2) 已知一双曲线的两焦点为（0 , 2）与（0 , －2），贯轴长为 2，试求
此双曲线的标准式。
解■ (2) 如右图所示
因为焦点为（0 , 2），（0 , －2）
所以中心为原点，贯轴在 y 轴上
＝1上任一点
可得 b2x02－a2y02＝a2b2
又
P（x0
,
y0）到
L1
的距离为∣bx0－ay∣0 b2＋a2
P（x0
,
y0）到
L2
的距离为∣bx0＋ay∣0 b2＋a2
例题 7 双曲线与渐近线
试证：双曲线 Γ：
x2 a2
－ y2 b2
＝1上任一点
P
到两直线
L1：bx－ay＝0
与
L2：bx＋ay＝0
且方程式形如 － x2 b2
＋
y2 a2
＝1
又 c＝2，贯轴长 2a＝2，所以 a＝1
而 b2＝c2－a2 ＝ 22 －12＝3
得双曲线方程式为－x2 ＋ y2 ＝1 31
上一题 下一题
例题 4 双曲线的各要素
(1) 已知一双曲线的方程式为 4x2－16y2＝64，试求其贯轴长、共轭轴
长、中心、焦点及顶点坐标。
的截面图，颈部 AB ＝4 是双曲线的贯轴长。出风口直径
EF ＝8，入风口直径 CD ＝28，已知 AB，CD ，EF 互相
平行，且 AB 与 CD 的距离为 24，试求AB 与 EF 的距离。
解■
代入
x2 4
－
y b
2
2
＝1
可得
b2＝12，而
F
点的
x
坐标为
4，
y 坐标即为 AB 与 EF 的距离，
焦点为（0 , 5）与（0 , －5） 顶点为（0 , 4）与（0 , －4）
上一题 下一题
例题 5 双曲线的应用
核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔
的截面图，颈部 AB ＝4 是双曲线的贯轴长。出风口直径 EF ＝8，入风口直径 CD ＝28，已知 AB，CD ，EF 互相 平行，且 AB 与 CD 的距离为 24，试求AB 与 EF 的距离。
例题 4 双曲线的各要素
(2) 已知一双曲线的方程式为 16x2－9y2＝－144，试求其贯轴长、共轭 轴长、中心、焦点及顶点坐标。
解■ (2) 将方程式 16x2－9y2＝－144 改写成－x2 ＋ y2 ＝1 9 16
与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0） 如右图所示，两焦点在 y 轴上， 且 a＝4，b＝3，c＝ a2＋b2 ＝ 42＋32 ＝5 所以贯轴长 2a＝8，共轭轴长 2b＝6
的距离乘积为定值
a2b2 a2＋b2
。
■證 故 P 到 L1 与 L2 的距离乘积为
∣bx0－ay∣0 ∣bx0＋ay∣0 ＝∣b2
b2＋a2
b2＋a2
x0 2－a 2 a2＋b2
y0∣2 ＝ a2b2 a2＋b2
上一题 下一题
主题 4 共轭双曲线与等轴双曲线
例题 8 共轭双曲线
试求双曲线 x2 － y2 ＝1 的共轭双曲线。 9 16
解■
(1)
将方程式
4x2－16y2＝64
改写成
x2 42
－ y2 22
＝1
与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0）
如右图所示，两焦点在 x 轴上
且 a＝4，b＝2 c＝ a2＋b2 ＝ 16＋4＝2 5
所以贯轴长 2a＝8，共轭轴长 2b＝4
焦点为（2 5 , 0）与（－2 5 , 0） 顶点为（4 , 0）与（－4 , 0）
解■ x2 － y2 ＝1 的共轭双曲线为 x2 － y2 ＝－1
9 16
9 16
上一题 下一题
例题 9 等轴双曲线
一等轴双曲线的两焦点为 F1（0 , 2 2 ），F2（0 ,－2 2 ），求此双曲 线方程式。 解■ 此等轴双曲线的中心为 F1F2 的中点，即（0 , 0），
下一题
例题 2 （焦点到中心距离)2＝（半贯轴长)2＋（半共轭轴长)2
已知一双曲线的贯轴长为 6，两焦点的距离为 10，试求此双曲线的共 轭轴长。 解■ 由题意知 2a＝6，2c＝10，所以 a＝3，c＝5
因此 b＝ c2－a2 ＝ 52－32 ＝4 故共轭轴长 2b＝8
上一题 下一题
主题 2 双曲线的标准式
代入双曲线 x2 － y2 ＝1 4 12
可得 42 － y2 ＝1 y＝±6（负不合） 4 12
∴ AB 与 EF 的距离为6
上一题 下一题
主题 3 双曲线的渐近线
例题 6 求渐近线
试求双曲线 x2 － y2 ＝1 的两条渐近线方程式。 9 16
解■ x2 － y2 ＝1 的两条渐近线为 x－ y＝0 与 x＋ y＝0
解■ 将此冷却塔的截面图坐标化 设双曲线的中心为 O（0 , 0），贯轴在 x 轴上
∴ 2a＝4 a＝2
可假设此双曲线的方程式为
x2 a2
－ y2 b2
＝1，即
x2 4
－ y2 b2
＝1
又CD＝28， AB 与 CD 的距离为 24
故此双曲线通过 D（14 , －24）
例题 5 双曲线的应用
核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔
9 16
34
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即 4x－3y＝0 与 4x＋3y＝0
上一题 下一题
例题 7 双曲线与渐近线
试证：双曲线 Γ：
x2 a2
－ y2 b2
＝1上任一点
P
到两直线
L1：bx－ay＝0
与
L2：bx＋ay＝0
的距离乘积为定值
a y0）为双曲线 Γ：
x a
2 2
－
y2 b2
例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）
(1) 已知一双曲线的两焦点为（2 , 0）与（－2 , 0），贯轴长为 2，试求
此双曲线的标准式。
解■ (1) 如右图所示
因为焦点为（2 , 0），（－2 , 0）
所以中心为原点，贯轴在 x 轴上
且方程式形如
x2 a2
－
y2 b2
＝1
又 c＝2，贯轴长 2a＝2，所以 a＝1