双曲线考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45答案：C2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B3.x 22＋m －y 2m ＋1＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x考点一 双曲线定义及应用|易错突破[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.[答案] (1)D[易错提醒][纠错训练]1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50解析：如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.答案：B2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.考点二 双曲线的方程及性质|方法突破命题点1 求双曲线的方程[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )A.y 29－x 23＝1 B.x 29－y 23＝1 C.y 24－x 26＝1 D.x 24－y 26＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________。

(3)(2018·成都模拟)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．[解析] (1)设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，双曲线C 的一条渐近线为y ＝3x ，设双曲线的一个焦点为(0，c )，则其到直线l 的距离为|3c |12＋(3)2＝3c2＝3.∴c ＝2 3.由双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，可知a b ＝ 3.∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝9，b 2＝3.故双曲线的方程为y 29－x 23＝1. (2)设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ.因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1.所以双曲线的方程为y 2－x 29＝1. (3)法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0,3)和(0，－3)，∴双曲线的焦距为2c ＝6. 由双曲线的定义得(15)2＋(4＋3)2－(15)2＋12＝8－4＝4＝2a . ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.[答案] (1)A (2)y 2－x 29＝1 (3)y 24－x 25＝1 [方法提升]求双曲线的标准方程方法[跟踪训练]1．(2018·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，所以ba ＝2，即b 2＝4a 2.又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5,0)，所以c ＝5，即a 2＋b 2＝25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4a 2，a 2＋b 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：A命题点2 双曲线的性质及应用[例3] (1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点(B 在C 的上方)．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2(2)(2018·郑州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________．[解析] (1)由题易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以b 2ac ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b .因为渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±x ，所以渐近线的斜率为±1.(2)由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，所以2×2b 2a ＝3×2c ，又因为b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3·c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)． (3)在△PF 1F 2中，由正弦定理知|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，又sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ，所以|PF 2||PF 1|＝a c ，所以P 在双曲线右支上，设P (x 0，y 0)，如图，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2c －a .由双曲线几何性质知|PF 2|>c －a ，则2a 2c －a>c －a ，即e 2－2e －1<0，所以1<e <1＋ 2.[答案] (1)C (2)2 (3)(1,1＋2) [方法提升]求 离心率的方法[跟踪训练]2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F 2(c,0)，设A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，AF 2，BF 2的中点分别为M ，N ，已知以MN 为直径的圆经过原点，且直线AB 的斜率为377，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．22 C. 3D.5解析：(构造法)由题意得AF 2⊥BF 2，所以AB ＝2c .设A (x ，y )，则x 2＋y 2＝c 2，x 2＋9x 27＝c 2，x 2＝716c 2，将y ＝377x 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得x 2a 2－9x 27b 2＝1，x 2⎝⎛⎭⎫1a 2－97b 2＝1，所以7c 216⎝⎛⎭⎫1a 2－97b 2＝1，7e 216－9e 216(e 2－1)＝1,7e 4－32e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝47(舍)．因为e >1，所以e ＝2.故选A.答案：A3．双曲线x 24－y 212＝1的离心率为________．解析：(直接法)由双曲线方程，得a ＝2，b ＝23，所以c ＝a 2＋b 2＝4，故e ＝ca ＝2.答案：24．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则此双曲线的离心率为________．解析：(公式法)∵双曲线的渐近线bx ±ay ＝0与圆相切， ∴圆心到渐近线的距离为|2b |a 2＋b 2＝ 3.∴b 2a 2＝3.∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.答案：2考点三 直线、双曲线综合问题|思维突破[例4] (1)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为________．(2)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．[解析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.(2)法一：设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)， 代入方程得y 0＝±b 2a .∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2a .在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)， ∵a >0，b >0，∴ba＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 法二：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a ，由已知易得|F 1F 2|＝3|PF 2|，∴2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2， ∵a >0，b >0，∴ba＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . [答案] (1)x 24－y 25＝1 (2)y ＝±2x[思维升华][跟踪训练]1．(2018·保定模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C. 5D.343解析：设F (c,0)，则过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作斜率为－1的直线为y＝－(x －c )，而双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bca －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ，AB →＝⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2，AF→＝⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，又AB →＝－3AF →，则2abc a 2－b 2＝－3·bca ＋b， 即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343.答案：D2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝52，点A (0,1)与双曲线上的点的最小距离是2305，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 解析：由c ＝a 2＋b 2，知c a ＝a 2＋b 2a ＝52，解得a ＝2b ，所以双曲线的方程为x 24b 2－y 2b2＝1，即为x 2－4y 2＝4b 2.设B (x ，y )是双曲线上任意一点，故|AB |2＝x 2＋(y －1)2＝4b 2＋4y 2＋(y －1)2＝5⎝⎛⎭⎫y －152＋4b 2＋45，当y ＝15时，|AB |取得最小值 4b 2＋45＝2305，解得b ＝1，所以该双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：C1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B.答案：B2.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12·|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP →＝(1,0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝32.故选D. 答案：D3.[考点二](2017·高考全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C. 答案：C4.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A5.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以a ＝5. 答案：56.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，求C 的离心率．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a2＝ab c ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.。